Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
(1.17.3), а может быть связан с а значительно более сложным соотношением.
За точкой накопления ах наблюдается хаос, т. е. беспорядочное "движение"
хп.
Логистическое отображение позволяет продемонстрировать еще одну важную
особенность многих динамических систем: при даль-
Введение
83
нейшем возрастании а за точкой накопления ах, зоны хаотического движения
перемежаются с "окнами" периодического, т. е. регулярного движения. За
последние годы были обнаружены некоторые закономерности, получившие
название масштабно инвариантных, или скейлинговых, свойств, но в рамках
нашей книги нас будут в большей мере интересовать основные подходы к
дискретным отображениям.
Идея отображения Пуанкаре допускает более общую интерпретацию. Например,
вместо того чтобы рассматривать траектории на
Рис. 1.17.15. Отображение Пуанкаре, соответствующее пересечению
траектории с двумерной плоскостью в трехмерном пространстве.
Рис. 1.17.16. Точки пересечения траектории с плоскостью на рис. 1.17.15.
плоскости, как это сделано на рис. 1.17.1, мы можем рассматривать
траектории в п-мерном пространстве и изучать точки их пересечения с
некоторой гиперповерхностью. Такую картину можно наглядно представить
себе в трехмерном пространстве (рис. 1.17.15). В ряде случаев,
представляющих практический интерес, оказывается, что точки пересечения
можно соединить гладкой кривой (рис. 1.17.16). Кривую можно растянуть в
прямую и снова воспользоваться, например, графиком, изображенным на рис.
1.17.3. В общем случае мы приходим к необходимости рассматривать
дискретные отображения вида
x"+1 = f(x"), (1.17.5)
где х", ti = 1, 2, . . . - векторы в М-мерном пространстве. Вектор-
функция f здесь может зависеть от одного или нескольких управляющих
параметров а, позволяющих изучать качественные изменения "дискретной
динамики" х" при изменении а. В широком классе таких качественных
изменений может быть усмотрена аналогия с неравновесными фазовыми
переходами, рассматриваемыми с помощью традиционных эволюционных
уравнений (1.17.1). Так,
84
Глава 1
мы вновь сталкиваемся с критическим замедлением и нарушением симметрии,
применимостью принципа подчинения (для дискретных отображений) и т. д.
Эти аналогии становятся еще более близкими, если рассматривать дискретные
отображения с шумом (о которых пойдет речь далее). Уравнения (1.17.5)
находят многочисленные приложения, которые до сих пор изучались лишь в
отдельных частных случаях. Например, вектор состояния хп может
символизировать различные пространственные структуры.
В заключение выясним, как можно определить показатели Ляпунова для
дискретного отображения. Будем действовать по аналогии с разд. 1.14.6, в
котором мы ввели понятие показателей Ляпунова для дифференциальных
уравнений.
Для дискретного отображения "траектория" состоит из последовательности
точек х", л = 0, 1,2,... . Пусть хп - траектория, в окрестности которой
проводится рассмотрение. По предположению она удовлетворяет уравнению
(1.17.5). Запишем соседнюю траекторию в виде
хп = х°п + 8хп (1.17.6)
и, подставив ее в (1.17.5), разложим f (х°п + бх") в степенной ряд по
компонентам возмущения бх". Удерживая линейные члены, приходим к
уравнению
8хп+1 = L (х°п) бх", (1.17.7)
где матрица L определяется по формуле
(dfk{x)/dxi Y (1.17.8)
Уравнение (1.17.7) можно решить методом последовательных приближений
(если вектор х°, заранее известен). Выбирая за нулевое приближение бх0,
получаем
бхх = L (хо) бх0,
6х2 = L (х?) 6х1;
6x" = L(x"_1)6x"_1. (1.17.9)
Выражая бх" через 6xn_!, бx"_x - через 6хл-2, ... и т. д., приходим к
явной зависимости между бх" и 6х0:
бхп = L (х°_,) L (xj_2) . . . L (х0°) бх0 (1.17.10)
(коэффициенты L умножаются как матрицы!). Показателями Ляпунова по
определению называются величины
К= lim sup -In | 6x" |. (1.17.11)
П-* oo Tl
Введение
85
В зависимости от направления 6х0 могут получаться различные к (при
многомерных отображениях).
Для одномерного отображения показатель Ляпунова к допускает явное
представление. В этом случае коэффициенты L и 6х0 - числа, поэтому из
(1.17.10) следует, что
| 8хп | = | L (хл-0, L (•*"-2) • • -L(xо)бх0| =
= \L(xU)\-\L(xU) \ • ¦ . |бх0|. (1.17.12)
Рис. 1.17.17. Показатель Ляпунова, соответствующий уравнению (1.17.3),
как функция параметра а = а С [3,4; 4]. [Из работы: Mayer-Kress G., Haken
НJ. Stat. Phys. 26, 149 (1981).]
Подставляя последнее выражение в (1.17.11) и используя (1.17.8), получаем
1 1
7, = limsup Yj In | / (xn) I- (1.17.13)
П-ГОО fl /72=0
где /' - производная функции / по х.
В качестве нетривиального примера на рис. 1.17.17 показан показатель
Ляпунова логистического отображения (1.17.3) как функция от а.
Положительные значения показателя соответствуют хаотическому движению, в
то время как отрицательные значения указывают на регулярный
(периодический) режим.
1.18. Дискретные отображения с шумом
Дискретные отображения позволяют легко моделировать влияние флуктуаций на
динамику системы: каждое новое значение хп+1 определяется не только
