Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах - Хакен Г.
Скачать (прямая ссылка):
q(t) = euu(t), (2.1.29)
где характеристический показатель определяется равенством
Х = Со, (2.1.30)
и (t) - квазипериодическая функция
и (t) = <7(0) ехр Г V -^-ехр (гш-ю/)"|, (2.1.31)
Lm^O
1ТП0)
<7 (0) = <7(0) ехр f - V ---V (2.1.32)
I Ifп-0) I
\ m-о /
Так как ряд в (2.1.31) сходится абсолютно, функция и (t) ограничена.
Следовательно, асимптотическое поведение решения (2.1.29) определяется
экспонентой ехр (Xt).
Обратимся теперь к однородному уравнению общего типа.
2.1.4. Линейное дифференциальное уравнение с вещественным
ограниченным коэффициентом
Коэффициент а (t) дифференциального уравнения (2.1.6) на этот раз -
непрерывная и ограниченная функция:
|а(01<В (2.1.33)
при
0 < оо, (2.1.34)
а в остальном произвольная функция времени. Будем считать, что a (t)
принимает только вещественные значения. Общее решение уравнения (2.1.6)
имеет в этом случае вид
q(t) = q (0) ехр |" J а (т) dr j . (2.1.35)
Требуется исследовать поведение решения (2.1.35) при г1->- оо. В
частности, нас интересует, может ли (2.1.35) возрастать или убывать
экспоненциально. Прологарифмировав (2.1.35), получим
t
In | q {t) | = In I <7 (0) | + f a (t) dr. (2.1.36)
о
Таким образом, задача сводится к исследованию асимптотического поведения
интеграла в (2.1.36). Прежде всего нам необходимо
98
Глава 2
ввести понятие "супремума", или "наименьшей верхней грани". Пусть А -
множество вещественных чисел {а}. Наименьшей верхней гранью множества А
называется наименьшее вещественное число Ь, такое, что a<ib при всех а ?
А. Обозначается наименьшая верхняя грань символом sup (А}. Аналогичным
образом определяется инфимум, или наибольшая нижняя грань inf {А}. Если А
- бесконечное множество вещественных чисел, то символ lim sup {А}
означает наибольшую нижнюю грань всех чисел Ь, таких, что только конечное
множество элементов из А превосходит Ь. В частности, если А -
последовательность {ап}, то lim sup (А) обычно обозначают lim sup {ап).
Рис. 2.1.1. Точками изображены члены некоторой последовательности {щ, а2,
. . . }. Множество {bj содержит все те и только те вещественные числа,
для каждого из которых существует лишь конечное полумножество членов
последовательности {ап}, больших или равных ему.
Наглядно введенные нами понятия показаны на рис. 2.1.1.
Итак, нас интересует (2.1.36). Составим
limsup (-5- С а(т)йт) • (2.1.37)
<-*¦"> lib J
Для первого члена правой части (2.1.36) получаем
-In | q (0) | 0 при t ->• оо. (2.1.38)
Исходя из (2.1.34), мы можем построить для интеграла верхнюю и нижнюю
грани, а именно
< <
С а (т) dr < | Bdx = Bt (2.1.39)
о о
и
<
Ja(x)dT>- Bt. (2.1.40)
О
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения 99
Из (2.1.39) и (2.1.40) следует, что
limsupj-- J а(т)йх\ - Х (2.1.41)
<->оо [to )
существует, если
|Я|<оо. (2.1.42)
Число Я называется обобщенным характеристическим показателем. Он содержит
информацию об асимптотическом поведении решения (2.1.35) при больших
положительных t. Смысл обобщенного характеристического показателя станет
ясен, если воспользоваться монотонностью логарифмической функции и
тем, что, как следует из
(2.1.41) и (2.1.36), решение в любой момент времени t имеет
верхнюю грань
Ceu+nt\ (2.1.43)
где
limsupf-/(0)->0. (2.1.44)
<-> ОО I t I
Таким образом, обобщенный характеристический показатель имеет тот же
смысл, что и вещественная часть (характеристического) показателя Я в
простейшем случае дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами.
2.2. Группы и инвариантность
Простейший пример дифференциального уравнения (2.1.6) позволяет объяснить
некоторые фундаментальные понятия, связанные с группами и
инвариантностью. Начнем с дифференциального уравнения для переменной q
(t)
q{t)=a{t)q{t). (2.2.1)
Свойства коэффициента а (t) (например, то, что он постоянный,
периодический или квазипериодический) можно охарактеризовать и свойством
инвариантности. Предположим, что коэффициент а (t) остается неизменным
при сдвиге аргумента t на t0, т. е. если
t-+t + t0, п.2.2)
то
a(t + t0) = a(f). (2.2.3)
Если t0 можно выбирать произвольно, то из (2.2.3) следует, что
а (t) не зависит от времени. Если же (2.2.3) выполняется лишь
при некотором t0 (и его целых кратных), то коэффициент a (t)
периодический. Как будет показано в гл. 3, наши соображения допускают
обобщение на случай квазипериодического коэффициента
100
Глава 2
а (t), но для этого требуется более сложная математика. Подвергнув
уравнение (2.2.1) преобразованию (2.2.2), получим
Я У ^о) - а №) Я (^ ^о)- (2.2.4)
Уравнение (2.2.4) имеет в точности такой же вид, как
уравнение
(2.2.1). Это - то же самое дифференциальное уравнение для переменной,
которую мы можем обозначить
4n(t) = 4cr(t + t0), (2.2.5)
(н - новая, ст - старая). Но из теории линейных дифференци-
альных'уравнений известно, что решение уравнения (2.2.1) единственно с
точностью до постоянного множителя. Обозначая этот постоянный множитель
через а, получаем соотношение
Ян (t) = aqCT (t),
