Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
электрона, а содержит еще и фотоны, а также пары, т. е. картинка такая:
И волновая функция всей системы имеет вид:
^физ = + ^е7 + ^е27 + ^ e3j + • • • + ^е+е~е~ + • • • •
Так что если общая нормировка функций выбрана единичной, то норма Фе уже
не равна единице, а представляет собой "долю" одноэлектронного состояния
в возникающем многочастичном состоянии. Однако на наблюдаемых величинах
нормировка волновых функций сказываться не должна. В нашем случае такой
величиной является сечение, в него входит поток начальных частиц и
фазовый объем конечных. В них мы обязаны включить возникающий
нормировочный множитель.
В дальнейшем мы будем поступать так: один корень \J~Z2 отнесем к потоку
или фазовому объему и будем их вычислять как обычно, другой корень \[Z^
отнесем к амплитуде, а волновые функции нормируем как прежде. То есть на
каждый вход (или выход) свободной электронной линии припишем множитель
д/^2:
Итак, в результате суммирования диаграмм возникла перенормировка массы
электрона и амплитуды.
204
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
4.2 Перенормировка функции Грина фотона
Посмотрим, что произойдет с фотонной функцией Грина в результате
всевозможных процессов. Обозначим точную функцию Грина фотона графически
следующим образом: ====, тогда
Если в результате суммирования всех диаграмм возникнет перенормировка
массы фотона, то он перестанет быть фотоном, т. е. наша теория приведет к
неверному результату. Посмотрим, так ли это.
Аналогично собственной энергии электрона ?(р), введем для фотона сумму
всех диаграмм, которые не делятся однофотонной линией:
Эту сумму называют поляризационным оператором фотона. Тогда
о
-+•••
+
+ •
(4.21)
------- -О- *-0-0-- +¦¦¦
(4.22)
или
Заметим, что
или
(4.24)
4.2. Перенормировка функции Грина фотона
205
- тензор второго ранга, зависящий от кц, поэтому его можно представить в
виде
П = g^aiik2) + klxkl/a2(k2). (4-25)
Аналогично для D
D^(k) = 9iiudi{k2) + к^к^2(к2). (4.26)
Подставляя (4.25) в (4.24), получим
[к2 - й!(k2)]D^(k) - k^kv'D^^ik2) = (4.27)
и окончательно
[к2 - a1(k2)}d1(k2)gl_l" + [к2 - ai(k2)]kl_lkud2{k2)-
- [klxkvd1(k2)a2{k2)+k2d2{k2)a2{k2)kIJ,kv\= д^. (4.28)
Приравнивая в (4.28) множители перед 5^ справа и слева, получим
[А:2 - ai(k2)\di(k2) = 1,
т. е.
dl= к2 -аг{к2У (4'29)
Аналогично,
d2(k2) = 0,2
(к2 - а\)(к2 - а\ - к2а2)'
Благодаря сохранению тока член в Dпропорциональный k^kUj вкладов в
реальные амплитуды не дает, и пока мы его оставим. Сосредоточимся поэтому
на части пропорциональной д^:1
D* = >2 g/u/,l24. (4.30)
^ к2 - а\(к2) 4 '
1 Обычно (4.26) переписывают в виде
D^(k) = g^d^k2) + k^Kd2(k2) = di(fe2) (9д" - ^ ) + d2(k2)k^K,
где
d~2 = 1 1
к2 к2 - а\ - к2а2
Поперечной частью функции Грина называют обычно di(k2)(g^u- k^ku/к2). Она
обращается в нуль при умножении на кц, так как к^,{д^,и - кцки/к2) = 0.
Обсуждаемая нами функция d\{k2) как раз и входит в поперечную часть
функции Грина.
206
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Если предположим, что D1 имеет полюс при к2 ^ 0, то получим теорию, не
имеющую отношения к электродинамике. Это означает, что вид (4.30) для D1^
накладывает ограничения на вид а\{к2), а следовательно, и на
поляризационный оператор П^v(k). Попытаемся выяснить, удовлетворяет ли
П^(к) этим требованиям (т. е. не получится ли полюс D^v при к2 0).
В силу сохранения тока, для амплитуды любого процесса Мд имеем
KMv = 0. (4.31)
Причем в (4.31) мы не предполагали к2 = 0, т. е. гипотеза сохранения тока
справедлива и для процессов с виртуальными фотонами. А тогда для ПдгУ,
поскольку он представляет амплитуду такого процесса
rv =
можно написать
= 0, (4.32)
или, подставляя (4.25),
kfiQfu/CLiik ) k^k^kj^^ik ) = 0.
Отсюда следует, что
ai(k2) = -к2а2(к2) , (4.33)
т. е. поляризационный оператор можно написать в виде
iWfc) = (g^k2 - кцКЩк2), (4.34)
где
сц(к2) = к2П(к2).
Если при к2 -> 0 функция П(к2) конечна, то а\(к2) к2, полюс D^v
остается в нуле и теория внутренне согласована. Проверим, что П(к2)
в бесконечность при к2 -> 0 не обращается. Для этой цели достаточно
проверить, удовлетворяет ли сохранению тока. Первый член в разложении
ПдгУ таков:
4.2. Перенормировка функции Грина фотона
207
т. е.
d4p ( 1 1
п$ = -е2 [ f4-Sp (in---,lv
^ J (27г)4г \ rn - p
k^U$(k) = -e2 [ T^Sp -----г----------------i) • (4-35)
M J (2тг)4г \ m-p m-p + +k)
: f dp Q ( 1 ,1 ^ n
/ /о \4• P---------------:-+------------------"> = °'
J (2тг)4г V m-p + k m-p J
поскольку заменой p - k = pf подынтегральное выражение сводится к
1 1 = 0.
m - р m - р
(Заметим, что каждый из интегралов расходится, как f d4p/p2.) Аналогично
все можно проделать и для высших порядков.
Таким образом, мы получили, что масса фотона не перенормируется, и это
следствие сохранения тока.
Итак, функция Грина фотона имеет вид:
9 (iV -П
Как и для электрона, можно ввести величину:
пc(fc2) =
k2[i-u(k2)Y (4'36)
2, n(fc2) - П(0)
1 - П(0) '
которая обращается в нуль при к2 = 0, и записать функцию Грина в форме:
