Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
Р1 Р2
= eu(p2hl,u(p1)AIJ,(q), (4.59)
где
Ац(я) = (4.60)
- фурье-компонента макроскопического тока тяжелой частицы. Что
произойдет, если учтем процессы высших порядков? Во-пер-вых, изменится
вершина и на каждую электронную линию добавится множитель т- е-
л/^2 Гд \fz2
= eu(p2)Tcfl(p2,Pi)u(pi)AIJ,(q), (4.61)
где Г;, = Z1 1Г^. Во-вторых, изменится внешнее поле, т. е. A^iq). Дей-
ствительно, (4.60) имеет вид:
A"(q) = eDlv{q)Jv{q), а следовательно, с учетом высших приближений,
220 Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Поле изменяется за счет всевозможных процессов с образованием пар,
например,
и т.д.
Окончательно амплитуда рассеяния принимает вид:
F = еей(р2)Г°(р2,Р1)м(Р1)1 _ де^2^°(<7) , (4.63)
здесь мы обозначили
А" = ^Мя)- (4-64)
Таким образом, изменение амплитуды обусловлено двумя эффектами:
перенормировкой взаимодействия и изменением внешнего поля в результате
виртуального рождения электрон-позитронных пар. Знак изменения поля легко
определить из физических соображений. Пусть, например, тяжелая частица
обладает положительным зарядом. Тогда при рождении в поле этой частицы
электрон-позитронной пары позитрон отталкивается и уходит на большое
расстояние, а частица оказывается окруженной отрицательными зарядами, и
наблюдаемый заряд этой частицы должен уменьшиться.
Этот эффект называется поляризацией вакуума. Фактически он аналогичен
поляризации диэлектрика, где роль электрон-позитронных пар играют
молекулярные диполи.
4.5. Радиационные поправки к рассеянию.
221
Физический и голый заряды связаны:
(напомним, что в соответствии с тождеством Уорда: Zi = Z2). Поэтому ясно,
что Z3 < 1. Таким образом, заряд электрона как бы экранирован, и именно
этот экранированный заряд есть
наблюдаемая величина на макроскопических расстояниях от электрона. А если
мы пойдем далеко вглубь, т. е. на очень малые расстояния к электрону, то
измерим затравочный заряд, который больше, чем 4тг/137.
т. е. взаимодействие растет при больших переданных импульсах,
соответствующих малым расстояниям:
Как мы видим, поправки к рассеянию электрона во внешнем поле возникают
благодаря двум эффектам - поляризации вакуума и поправкам к вершине.
Теперь вычислим вклад от обоих эффектов в амплитуду рассеяния электрона
внешним полем в первом порядке по е2. Начнем с поляризации вакуума:
Это означает, что
Пс(<72) > О, Пс(0) = О,
222 Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Этому выражению соответствует диаграмма
е
Однако вклад в поляризационный оператор фотона дадут все частицы,
например, мюоны:
Эта диаграмма вычисляется аналогично (4.65). Однако для протонов уже не
ясно, как вычислять такой процесс:
Р
поскольку протоны участвуют еще и в сильных взаимодействиях. Но мы
покажем, что вклад этих диаграмм ~ к2/га2, и поэтому при не слишком
больших энергиях даже мюоны дают малый вклад. При дальнейшем увеличении
энергии начинают сказываться сильные взаимодействия. Тщательная проверка
радиационных поправок при не очень высоких энергиях гарантирует, что нет
необнаруженных легких частиц.
Итак, перейдем к вычислению (4.65). Представим в виде
= (9^к2 - к^КЩк?)
И вычислим
SpnM" = Пйй = Зк2Щк2).
(4.66)
4.5. Радиационные поправки к рассеянию.
223
С другой стороны,
пйй = 3/c2II(fc2) = -е2 j ^^Sp(7"(m + p)7"(m + р - fc)) х
Х (т2 - р2)(т2 - (р - k)2)' (4-67)
Пользуясь соотношениями
Ivlv = 4,
7^Р7^ = -2р,
получим
Sp(7zy(m + р)7гУ(ш + р - к)) = Sp[(4m - 2р)(га -hp - к) =
= 16т2 - 8 р(р - к). (4.68)
Здесь мы использовали то, что след произведения нечетного числа 7-матриц
равен нулю, а
Sp7m7^ = 4<W
Интеграл (4.67) является расходящимся. Однако нас интересует не сама
величина П(к2), а разность
ПС{к2) = И(/Z2) - П(0) ^ n(fc2) _ п(0)_ (4 б9)
Она окажется сходящейся величиной.
Вычислим в (4.67) интеграл по dp^. От первого знаменателя в (4.67) имеем
полюса
Pi 2 = ±д/т2 + р2 - is,
от второго -
р\А = к0± л/т2 + (р - k)2 - is.
Рассмотрим область пространственноподобных к, т. е. к2 < О,
тогда можно найти систему отсчета, где ко = 0. Полюса при этом будут
расположены симметрично относительно мнимой оси ко, тогда контур
интегрирования можно развернуть и направить вдоль мнимой оси (так как при
таком повороте контур не пересечет особенностей), см. рис. 27. А так как
в этом случае
d4p dpo d3p i dp'o d3p
(2tt )4i (2tt )4i (2tt )4i
224
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Рис. 27
Рис. 28
4.5. Радиационные поправки к рассеянию.
225
- величина вещественная, то и весь интеграл (4.67) тоже веществен,
поскольку в подынтегральное выражение входят только квадраты р$.
Итак, если рассмотрим комплексную плоскость А:2, то на вещественной оси в
области отрицательных к2 интеграл веществен (жирная линия на рис. 28). И,
кроме того, поскольку знаменатель (4.67) на повернутом контуре нигде в
нуль не обращается, он не имеет особенностей. (Чтобы интеграл (4.67) не
расходился при больших р2, можно ограничить интегрирование сверху
некоторым параметром обрезания Л, об этом поговорим позднее.) Выясним,
