Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
т. е.
F ~ / А% + * - я) ",2 _ _ ie = m,_(p1+k)i_ ie ¦
а так как qo = ро + ко > 0, то левый полюс qo = - \Jm2 + q2 у функции
l/(m2 - q2) заведомо не работает. Поэтому его можно считать расположенным
не в верхней, а в нижней полуплоскости. Но, как мы знаем, такое
расположение полюсов отвечает запаздывающей функции Грина, которая
пропорциональна Gr(x21) ~ в(х20 - хю)- Значит область Х20 < х10
действительно не дает вклада в интеграл.
Во второй диаграмме знак ? (положение полюса) несуществен, поскольку
знаменатель может обратиться в нуль, если только частица I
178
Глава 3. Общие свойства амплитуды рассеяния
нестабильна, т. е. может самопроизвольно распасться на две.
Поэтому при вычислении амплитуды для стабильной частицы функцию Грина в
этой диаграмме также можно заменить на запаздывающую. Однако просто
заменить всюду фейнмановские функции на запаздывающие нельзя, поскольку
мы получили бы неправильный результат для амплитуд рассеяния, в
частности, если бы мы рассмотрели ту же амплитуду в других каналах.
Рассмотрим соотношение между разными каналами на мандель-штамовской
плоскости с точки зрения причинности и аналитичности.
s = (га + А)2
- начало физической области.
Пользуясь аналитичностью амплитуды, мы в свое время продолжали ее в t- и
и-каналы. Продолжение, указанное стрелкой на мандель-штамовской
плоскости, аналогично следующему продолжению в плоскости fco (см. рис.
19). Иначе говоря, в отличие от нерелятивистской квантовой механики,
область отрицательных fco тоже имеет смысл.
В этом как раз и состоит одна из основных особенностей релятивистской
теории: аналитичность амплитуды (т. е. причинность) обеспечивает
возможность ее продолжения в манделыптамовской плоскости из канала в
канал или в плоскости fco. Как мы покажем ниже из условия унитарности,
должна быть комплексна в физических областях разных
3.2. Причинность и унитарность 179
Рис. 19
каналов, отмеченных жирными линиями на рисунке. Мы увидим далее, что
амплитуда имеет точку ветвления в точках, которые отвечают началу
физических областей ко = =ЬЛ, и жирные линии отвечают разрезам амплитуды
в комплексной плоскости. Физическая амплитуда в 5-канале есть предельное
значение на верхнем берегу правого разреза (рис. 20).
Рис. 20
180
Глава 3. Общие свойства амплитуды рассеяния
Поскольку в верхней полуплоскости амплитуда аналитична, ее можно
продолжить, как указано на рис. 19 (т. е. в и-канал). Получим ли мы при
этом амплитуду нового процесса? Казалось бы, для этого достаточно
заменить fco на -ко. Однако, повторяя выкладку (3.42) в и-канале, получим
Следовательно, в и-канале нужно к вещественной оси подходить снизу. Это
естественно, поскольку амплитуды отличаются знаком fco, то
Таким образом, физическая амплитуда в и-канале также есть предельное
значение на вещественной оси некоторой аналитической функции. Поскольку в
части комплексной плоскости (в области между разрезами) эта функция есть
аналитическое продолжение 5-канальной амплитуды, то данная функция - та
же самая, чье предельное значение на правом разрезе есть 5-канальная
амплитуда.
Рассмотрев требования причинности в и-канале, можно показать, что
амплитуду можно продолжать в нижнюю полуплоскость fco. Иначе говоря,
амплитуда должна быть аналитичной и в верхней, и в нижней полуплоскостях
(но с учетом разреза на вещественной оси). Верхняя и нижняя полуплоскости
fco есть, по существу, плоскости 5-канальной и гх-канальной амплитуд.
Переход с одной из них в другую эквивалентен аналитическому продолжению
амплитуды из одного канала в другой.
3.2.2 Унитарность
Мы ввели S'-матрицу, матричные элементы которой Sba определяют амплитуды
переходов из состояния |a)t=-oo в состояние |6)t=+QO, т. е. если
т. е.
fs(-k'o) =/Ж)-
ко + is -> -fco - is.
Этот переход изображен на рисунке:
3.2. Причинность и унитарность
181
в t = - оо система находилась в состоянии
/фЛ
ф2
ф =
• /
то в t = +00
Ф' = S Ф.
Волновые функции начального и конечного состояния имеют вид:
Ф = ^Ф0|а), (3.51)
Ф' = 52%\Ь) = = ^Фа<Ь|5|о)|Ь),
b a ab
Ф^ = ^(6|5|а)Фа = ^5ЬаФа.
(3.52)
Отсюда вытекает приведенный выше смысл Sba как амплитуды перехода.
Сохранение вероятности означает, что
^|Фа|2 = ^|Ф;|2-
(3.53)
Принцип суперпозиции требует выполнения (3.53) для любых началь ных
состояний. Это приводит к тому, что S'-матрица должна быть уни тарной, т.
е.
SS+ = 1 ,
или в матричном виде
?ЗД+=5ас
ъ
Диагональная часть условия (3.55)
= ?|Sob|2 = l
ъ ъ
означает сохранение вероятности, а недиагональная
(3.54)
(3.55)
a
ортогональность состоянии.
182
Глава 3. Общие свойства амплитуды рассеяния
Представим S'-матрицу в виде
S = 1 + гТ. (3.56)
Тогда из условия унитарности (3.54) следует
1 + гТ -гТ+ + ТТ+ = 1,
т. е.
-i[T - Т+] =ТТ+. (3.57)
Обычно условием унитарности называется именно (3.57). В матричном виде
(3.57) запишется
-i[Tba-T+] = '?TbcT+,
или, так как Т^а = Т*ь,
-г[Тъа - Т*ь] = ? ТьсТ*с. (3.58)
Предположим, что теория РТ-инвариантна, как, например, квантовая
