Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
2 (ер2) + 2(epi)
u(p2)^(9)w(pi). (2.153)
га2 - (р2 + &)2 ш2 - (pi - А:)2 Величина
fs(q) = n(p2)A(q)u(p1) есть не что иное, как амплитуда рассеяния
электрона. Итак,
^торм - efs(Q)
epi _ ер2
Pik р2к
(2.154)
В нерелятивистском случае |pi| <С га, р\к ~ га&о- При этом
^торм = /s(<?)^e(v2 - Vi), (2.155)
где vi?2 = Pi,2/га - скорости электрона до и после рассеяния. Формула
(2.155) совпадает с результатом классической электродинамики для
тормозного излучения.
Вычислим для этого случая сечение процесса:
1 d4k da-торм = j\FTopM\2d4p2S(pl - т2)(2тг)45(р2 + к - pi -
Величина
d<7s = ^\М2-ЩзЧр1 ~ т2)(2ж)45(р2 + к - pi - q)
- это сечение рассеяния электрона, так что
е2 d4k
dcrTOpм = das-^e{\2 - va)2 ,35{к2), (2.156)
/ъ0 T)
г/72\ dkokdk2 2 2\ 7^ ^0 ^0
5(k) = / S(ko ~ k)d^ =
т. e.
e2 dfcn
rfo-торм = rfo-s^j|e(v2 - Vi)|2dfl-, (2.157)
2.9. Тормозное излучение электрона во внешнем поле
151
или, учитывая, что е2/47г = a = 1/137,
a I / м9 d?l dko . _ .
dcrTOpM = das - |e(v2 - vi)| ---. (2.158)
Z7T Z7T Kq
Мы видим, что dcrT0pM -> oo при fco -" 0, и полное сечение расходится
логарифмически в области малых частот. Интегрируя сечение по энергиям
фотона от котЫ до komax, получим
dcrt = das^~ |e(v2 - vi)|2 2 In max . (2.159)
Z7T rvOmin
Верхние частоты испускаемых фотонов, очевидно, ограничены энергией
электрона, т. е. komax < рю. Нижний же предел может быть выбран
произвольно малым, положив fcomm = 0, мы бы получили бесконечное сечение
(так называемая инфракрасная катастрофа). В данном случае дело в том, что
не работает первое приближение по константе связи а.
Выражение (2.159) фактически устанавливает критерий применимости первого
порядка по а:
0_ in hfrnax_ < 1^ (2 Л60)
27Г komin
Если это неравенство нарушается, процессы с испусканием одного или
более фотонов не подавлены. Это можно понять и с другой
точки зрения. При к -> 0 мы имеем классическое электромагнитное поле, что
отвечает большому числу фотонов, и, естественно, поэтому мы не можем
ограничиться однофотонным процессом.
При обсуждении высших поправок мы еще вернемся к этому вопросу, а теперь
перейдем к другому случаю:
Рю > m, - <С 1. (2.161)
Р ю
Пренебрегая в числителях (2.151) членами efc, как и раньше, получим
Рторм - efs(Q)
Далее, для фотона, испущенного на угол #i, имеем
ер 1 ер2
Pik р2к
Pik =рюко -piko cos#i =pik0
2
ГП
1 - COS 6*1 + -^7 2 p(
(2.162)
152
Глава 2. Частицы со спином 1/2
поскольку рю можно разложить по тп2/р2 в силу (2.161):
.2
Рю = \/(tm)1 +Pi =Pi +
m
2pi
или, введя Oq = m2/p2 и учитывая, что 1 - cos#i " #i/2,
_ pik0 (a2 | д2\
pifc - -^-(#1 + во).
(2.163)
Если 01 <С 1 и m2/2р2 < 1, то знаменатель в амплитуде снова мал и
вероятность тормозного излучения велика. Таким образом, тормозные фотоны,
в основном, излучаются на малые углы.
Числитель в выражении для амплитуды равен epi = - pi sin#i ~ -piOi
(2.164)
(фотоны поляризованы параллельно р2 - pi). Аналогичные выражения
получаются и для второго слагаемого амплитуды, так что окончательно имеем
торм - -e/s(^) -
о 1
#2
в2+в2 02 + g2j
Большие импульсы электрона здесь сокращаются.
(2.165)
2.10. Формула Вайцзекера-Вильямса
153
Из (2.165) видно, что если электрон рассеялся на очень малый угол 0S <
6>i ~ #2, то амплитуды излучения до и после рассеяния вычитаются и
тормозного излучения практически нет. Однако, при рассеянии на достаточно
большой угол, О s 0 о одна из амплитуд может быть
много больше другой и сокращение более не имеет места. Это возможно в
двух случаях: 62 ~ 0S 0\ или наоборот 0\ " 0S 62.
Это означает, что в релятивистском случае тормозное излучение
сконцентрировано внутри двух узких конусов, 0\ <С 0S и 62 <С 0S, которые
направлены вдоль pi и р2 . Эти конусы совершенно одинаковы.
Рассмотрим для примера сечение излучения в одном из этих конусов.
4е2 0\ d4k5(k2)
1^(01 + в1У (2тг)3 '
^торм - d<7s 7^2 , 1 д2\9. 7о1Г\Я ' (2.166)
d4kS(k2) kodkon , .
, 4Q = -----zTTdcosO,
(2тг)3 (2тг)32
, 2е2 dkon_ . Л 0? J ad/co "
ТОрМ_ S87r3 fco Ш 11 (02 +02)2 -d<J°n ko (02 + 02)2-
Интегрируя по углам в узком конусе АО и энергиям фотона, получим полное
сечение тормозного излучения в виде (при Oq "С АО):
dat = das - In ln^ das - In In ^. (2-167)
поскольку /СОтоаж =Pl, 00 = m2 /2р\ .
Таким образом, сечение растет с ростом энергии налетающей частицы как
квадрат логарифма (это все при рассеянии на достаточно большой угол).
Следовательно, при очень больших энергиях наша теория (основанная на
первом порядке по а) тоже неприменима.
2.10 Формула Вайцзекера-Вильямса
Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть имеется тяжелая частица (например,
ядро или протон), и на нее налетает легкая частица. При рассеянии может
произойти процесс с испусканием любых частиц (на предыдущей лекции,
например, мы рассмотрели испускание фотонов), т. е.
154
Глава 2. Частицы со спином 1/2
Pi
(все, что угодно ) Pi Pi
Pi
Ze
+
Рис. 14
В амплитуду рассеяния частицы на кулоновском центре входит 1/q2 (q2 = (р-
