Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
выделить флуктуации, которые связаны и происходят в течение короткого
промежутка времени, вводят понятие собственной энергии частицы, которая
является суммой всех диаграмм, не содержащих повторений (т. е. которые не
могут быть разделены на две части, соединенные одной линией).
-вд= ^ч.+ 1^>Гч.+ / + +
В Tt(p) содержатся все флуктуации за короткий промежуток времени. Все
остальные флуктуации получаются просто повторением, т. е. полную функцию
Грина можно записать так:
G(p) =
+ -
+
+ •
Выделив Ti(p) в блок, мы теперь легко можем просуммировать всю
совокупность диаграмм. Имеем
ед = 1
1
1
то-р
[-Е(р)] ------;
то - р то - р то-р
[-Е(р)] [-Е(р)] 1
то ~Р
т0 -р
1 + [-ВД
т0 -р
то -р 2
-вд
т0 -р
• (4.12)
Таким образом, сумма свелась к геометрической прогрессии. Суммируя ее,
получим
11 1
G(p) =
(4.13)
В нулевом приближении
Go(p) =
1 _ то + р
то - Р 771q - р2
200
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Здесь то имеет смысл массы частицы, поскольку Go(p) в точке р2 = гад
имеет полюс. Это вытекает из следующих рассуждений: функция
распространения частицы из х\ в х2 есть
где ро = д/гао + р2. А это и означает, что распространяется частица с
массой то; более того, при t2 -" оо вклад в интеграл дает только полюсной
член и, если бы не было полюса, из-за частых осцилляций экспоненты он
обратился бы в нуль, т. е. мы не наблюдали бы никакой частицы. Именно
наличие полюса делает интеграл отличным от нуля и обеспечивает правильную
связь между энергией и импульсом частицы. Так что физически наблюдаемая
масса определяется из условия
Взглянув же на (4.13), видим, что точная функция Грина не обязательно
имеет полюс при р2 = гад, т. е. то не имеет непосредственного отношения к
массе. А реальная масса частицы определяется еще и ее собственной
энергией. И если мы хотим, чтобы свободная частица с некоторой массой т
существовала (т. е. мы могли бы ее наблюдать), то мы должны наложить
некоторые условия на ?(р).
Поскольку Tt(p) зависит только от 7 матриц только через р, она
коммутирует с р. Пусть ит(р) - биспинор, описывающий свободную частицу с
массой т ( риш(р) = тиш(р) ). Уравнение 4.14 для определения физической
массы эквивалентно
где х\2 = Х2 - х\. Взяв интеграл по вычетам, мы получим
ад |р2
(4.14)
G 1(р)ит(р) = (т0-р+ Т,(р))ит(р) = 0,
которое эквивалентно
то - т + Е (га) = 0.
(4.15)
Это уравнение должно иметь вещественные решения, которые и будут иметь
смысл реально наблюдаемой массы частицы. А поскольку то
4.1. Высшие приближения. Перенормировка массы электрона
201
ненаблюдаема, хорошо бы ее исключить из всех выражений, заменив на
некоторую комбинацию из га. Это сделать совсем просто: перепишем (4.13) в
виде
G_1(p) = то0 -р+Т,(р).
Выражая гао из (4.15), получим
G~1(p) = т - р + Е(р) - Е(га). (4.16)
Эта формула выражает функцию Грина электрона только через наблюдаемые
величины.
Рассмотрим теперь, как устроены поправки к волновой функции заряженной
частицы. Покажем, что они связаны с поправками к функции Грина.
Вспомним, как мы вычисляли амплитуды реальных процессов:
Г p-ip(x1-x'1)
А~ / 7^-2-------------НТОо +р)-
J (2тт)4г mg - р2
Мы замыкали контур на полюс и интегрировали по dpo; пользуясь равенством
= (P + mo)"i3,
х
получали
где ро = д/р2 + Шд. Далее выделили волновые функции свободных частиц:
_ У А (V)е-грх1 ____]___Лрх\ -А / ¦\
^ ^ ' VWo [Ph
и оставшийся фактор назвали амплитудой рассеяния.
Теперь же у нас функция Грина имеет полюс в га. Посмотрим, что произойдет
с вычетом, который, как мы только что объяснили, входит в амплитуду
рассеяния. Для этой цели разложим Е(р) в ряд вблизи га:
Е (р) = Е (га) + (р - га)Е'(га) + (р - га)2Ё(р). (4.17)
202
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Последний член в этом выражении содержит степени р-т выше первой.
Перепишем его в виде
(р - т)2Т>(р) = [1 - Е'(ш)]Ес(р),
вводя новую величину Ес(р). Она выражается через собственную энергию
согласно
_ Е(р) - S(ш) - (р - то)Е'рЗ) с{р) 1 - Е'(т)
Функция Грина может быть представлена через ?с(р) следующим образом:
G_1(P) = I1 - E'(m)](m -р- ?с(р)) = [1 - Y/{т)^1 (р), (4.18)
где
т-р - Ес(р)
называется перенормированной функцией Грина. Поскольку вблизи полюса
Tic(p) имеет лишь члены высокого порядка по р - га, видно, что
перенормированная функция Грина устроена вблизи полюса так же, как
функция Грина свободной частицы с массой га.
Вернемся к вычислению амплитуды. Величина Ес(р) не дает вклада в полюс,
поэтому при вычислении амплитуды (т. е. при х\ -> оо) ею можно
пренебречь. В результате имеем
^ f d4p e-ip(x1-x'1)
I
(2ir)4i (га - p)[ 1 - S'(ra)] t\ -> oo d3p
Раньше у нас была нормировка гш = 2га, а сейчас появились спиноры
u' = Z*u , й'= (4.19)
где
^2 = ----^77-г- (4.20)
1 - Е'(ш)
4.1. Высшие приближения. Перенормировка массы электрона
203
То есть возникла перенормировка волновых функций электрона. Физически это
отражает тот факт, что в настоящем случае система состоит не из одного
