Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грибов В.Н. -> "Квантовая электродинамика" -> 39

Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.

Грибов В.Н. Квантовая электродинамика — НИЦ, 2001. — 288 c.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 60 >> Следующая

амплитуду. Физический смысл этого утверждения следующий: если мы
рассеиваем пучок частиц на некоторой мишени, то рассеянные частицы не
должны вылетать из мишени ранее, чем прилетели падающие. Следовательно,
fpp>(x 12) должна иметь вид:
fpp'(x 12) = ^(^12)0)0(2:12)^(2:12) + ^(^12), (3-41)
причем член ср'(х 12) при интегрировании должен давать нулевой вклад в
амплитуду.
В выражении (3.40) /с, А/, р, р' у нас не любые. Поскольку частицы
реальны, эти величины удовлетворяют соотношениям:
ко = л/*2 + Л2 , к'0 = vV + A2,
Ро = л/р2 + ш2 , р'0 = yjр'2 + т2
и, кроме того, связаны законами сохранения:
к - к' = р' - р.
Давайте предположим, что fpp'(x 12) имеет именно структуру (3.41), т. е.
причинность выполняется (в противном случае теория потеряла бы всякий
смысл). Пусть р = р', к = к' (рассеяние вперед) и направим ось z по
вектору к. Тогда из (3.40) следует, что
f(k, к;р,р) = f(k,p) = J d4xeik°*°~^fp(x) =
= J dixeiko{-Xo-^fp{x) = f(k0). (3.42)
Поскольку наша функция имеет вид (3.41), то вклад в интеграл дает область
хо > 0 , xl - z2 > 0 ,
откуда следует, что
хо - z > 0.
174
Глава 3. Общие свойства амплитуды рассеяния
Из последнего неравенства и (3.42), в свою очередь, следует, что если
интеграл (3.42) сходится на вещественной оси fco (т. е. если /(fco) имеет
смысл), то в верхней полуплоскости он сходится еще лучше. Иначе говоря,
при выполнении условия причинности амплитуда аналитична в верхней
полуплоскости. Справедливо и обратное: если амплитуда аналитична, то она
может быть записана в форме (3.42). Если же /(fco) имеет в верхней
полуплоскости особенность, то она не может быть причинной.
Следуют ли из причинности какие-либо выводы о поведении амплитуды /(fco)
с ростом fco? Если fco велико, то при интегрировании в (3.42) область хо
- z ~ 0 дает максимальный вклад в интеграл. Если f(x2) имеет в нуле
сингулярность, то /(fco) может расти с fco- Например, если
f(x2) ~ 5(ж0 - г),
ТО
/(fco) -> const,
но при
}(х2) ~ 5'(х0 - z)
имеем уже
/(fco) -> fco, т. е. если /(ж2) имеет структуру
/>2) = ^2 CnS^n\x0 - z), (3.43)
П
ТО
/(fc0) = ^Cnfc0n. (3.44)
П
В принципе, если (3.43) содержит бесконечное число производных ^-функций
(т. е. /(fco) растет быстрее любой степени fco), мы не
гарантированы от того, что не нарушили причинность. Действительно, явно
антипричинная функция
в(-х0 + z) = ^2 Сп5(ж0 - z)
П
как раз и содержит бесконечное число таких производных.
3.2. Причинность и унитарность
175
Таким образом, если потребуем, чтобы
/(/с0) < ktf при к0 -> оо, (3.45)
что соответствует конечному набору <)(п*-функций в (3.43), то условие
причинности заведомо не нарушится. Функции f(ko), аналитичные в верхней
полуплоскости и растущие не быстрее некоторой степени &о, мы будем
называть причинными.
Хотя мы не доказали формально, что причинность требует, чтобы амплитуда
обладала этими свойствами, эта гипотеза, однако, довольно хорошо
аргументирована. Действительно, как мы проверяем причинность на опыте?
Пусть мы имеем пакет, описывающий налетающие частицы (фотоны в нашем
случае):
Ф(ж) = J e~ik°(Xo~z^C(ko)dko. (3.46)
Рассеянные вперед фотоны опишутся так:
Ф'(а;) = J e-ik°(x°-z)f(ko)C(ko)dko. (3.47)
Причинность для налетающих частиц здесь означает, что С (ко) должна быть
такой, чтобы
Ф(ж) = 0 если z - xq > <2, (3.48)
т. е. если источник фотонов помещен в а, то до того, как они были
испущены, их не было. Этого можно добиться выбором особенностей С (ко).
Именно, если С (ко) не имеет особенностей в верхней полуплоскости и на
большом круге ведет себя как е~гк°а, то при z - хо > а в (3.46) можно
замкнуть контур в верхней полуплоскости и показать, что Ф(ж) = 0. После
рассеяния Ф'(ж) также должно равняться нулю при z - хо > а, но если f(ko)
~ е_г/е°с, (с > 0) на большом круге, то Ф'(ж) будет равно нулю только при
z - хо > а + с, но не при z - хо > а.
Давайте теперь посмотрим, аналитичны ли наши борновские амплитуды? Им
соответствуют диаграммы:
176
Глава 3. Общие свойства амплитуды рассеяния
В системе покоя электрона имеем
5 - (р + к)2 = ш2 + Л2 + 2тко, (Л - малая масса фотона),
и
= (р - к') = т2 + Л2 - 2тк'0 = т2 + Л2 - 2тко
(ко = к'о при рассеянии вперед). Полюса амплитуды лежат в точках,
определяемых равенствами:
-Л 2тко = О,
Л2 + 2тко = О,
т. е.

Однако амплитуда определена в области ко ^ А (жирная линия на рис. 18), а
полюса в точках |fco| < А, т. е. не там, где определена амплитуда. Таким
образом, борновская амплитуда имеет правильные аналитические свойства (не
имеет полюсов в верхней полуплоскости и убывает при |fco| -" оо) и
следовательно удовлетворяет причинности.
Как же это получилось? Ведь G(x2 - х\), входящая в амплитуду, отнюдь не
равна нулю при х2о - #ю < 0. Первая диаграмма дает:
\ G(x2-Xi)//
-------С =F =
Х\ Ж2
3.2. Причинность и унитарность
177
Рис. 18
= J d4x1d4x2ei(-k'+p')x2-l{k+^XlG(x2 -хг) =
= (2тт)45(р + к - р' - к') J d4xi2el(k+p^Xl2G(xi2), (3.49)
G(x12)= [ 2 \ . , (3.50)
J (2тг)4г mz - qz - ъе
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed