Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
представить контур в виде, указанном на рис. 24.
При этом
/Оо) = J
dk'0
№)
Г 2
1
7Г
кю - ко
- га-А
га+А
2m fcg - fco
&20 - ко
(3.69)
dkn
К - к0
188
Глава 3. Общие свойства амплитуды рассеяния
Re ко
Рис. 24
3.2. Причинность и унитарность
189
поскольку
^{/Оо - ге) - /(fco +i?)} = W(fco)-
Члены с г\ и Г2 в(3.69) отвечают вкладу в интеграл от полюсов fcoi и fco2
борновского приближения (высшие приближения в этих точках, как увидим,
особенностей не имеют). По этой амплитуде можно найти мнимую часть в еще
более высоком приближении и т. д. В частности, используя борновские
приближения для процесса, можно найти амплитуду рассеяния света на свете.
Действительно,
X I
ImF(27 -> 27) =
-X-
Амплитуды
И
нам известны, и, подставляя (3.70) в (3.69), найдем F(27 -> 27).
Таким образом, из амплитуды предыдущего приближения мы можем найти мнимую
часть последующего, а по дисперсионному интегралу (3.69) - и саму
амплитуду. Повторяя последовательно эту процедуру, можно найти амплитуду
в любом порядке теории возмущений.
При выполнении этой программы мы можем, однако, столкнуться с проблемой
сходимости дисперсионных интегралов. Сходимость же определяется
поведением амплитуд рассеяния при больших энергиях. В действительности,
эта проблема тесно связана с возможными ультрафиолетовыми расходимостями
теории. Мы рассмотрим эту проблему в главе 5.
Глава 4
Перенормировки. Радиационные поправки
В предыдущей главе мы показали, как при помощи дисперсионных соотношений
можно получить амплитуды высших приближений из бор-новских. Существует,
однако, более простой метод непосредственного построения амплитуд высших
порядков - метод фейнмановских диаграмм.
4.1 Высшие приближения.
Перенормировка массы электрона
Начнем со свободной частицы. Что с ней может произойти? (Считаем, что
есть частицы только одного сорта и фотоны.)
1. Частица свободно распространяется из х\ в х^
Х1 Х2-
2. В некоторой точке х[ частица может испустить фотон: ~
но поскольку реально этот процесс запрещен, то фотон может существовать
лишь время, разрешенное соотношением неопределенностей, а затем обязан
поглотиться этой же частицей, т. е.
/ \
I \
_________________________I_______________________________________________
1_______________________
Х\ х'2
3. Возможны и более сложные процессы:
4.1. Высшие приближения. Перенормировка массы электрона
191
или
/
\
\
\
Точная функция Грина свободной частицы представляется суммой функций
Грина всех подобных процессов, причем, когда в диаграмме присутствуют
электрон-позитронные пары, на каждую надо вводить множитель -1 (поскольку
v(jp) = -й(-р)). Метод Фейнмана как раз и состоит в написании всех
топологически разных диаграмм процессов во всех порядках по константе
взаимодействия и суммирования всех соответствующих функций Грина.
Подчеркнем, что следует рисовать только топологически различные
диаграммы. Так, например, диаграмму
/
\
можно изобразить так
и так
Это, по существу, один и тот же процесс, поэтому его нужно учитывать
только один раз.
192
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Сумма
описывает распространение свободной частицы и влияние на него
всевозможных виртуальных процессов. Видно, что процесс, например, такой
есть просто повторение
так что ничего нового он в движение частицы фактически не вносит. Поэтому
в дальнейшем нам будет удобно выделить те процессы, которые не сводятся к
простым повторениям. А пока сформулируем правила, по которых мы будем
сопоставлять диаграммам функции Грина. Как обычно, для диаграммы
Х\ х[ х'2 Ж2
напишем
G2(x2 - х{) =
= е2 J G(x2 - x2)iT^(х2)С(х2 - xf1)iTlf(xf1)G(xf1 - х\) х
х Dflu(x2 - x'^)d^x'2d^x'x. (4.1)
Множитель e2 в (4.1) появился из-за наличия двух вершин, интеграл берется
по d4x[ и d4x2 в силу того, что х[ и х2 произвольны. В ж-прост-ранстве
вершине мы сопоставляем (как и в импульсном), т. е.
4.1. Высшие приближения. Перенормировка массы электрона 193
В следующем порядке рассмотрим, к примеру, диаграмму
/
\
/
\
/
\ \
\ \
Х2 Х*2 Х2
Для нее имеем
G4O2 - ^i) =
= е4 J G(x2 - x'2)i^iiG(x2 - xf2)i^vG(xf2 - х[) х
х i^G(xi - xf{)i-f^G(xf{ - x1)D^\x2 - x") x x Dvv>(x2 -
x^d^x'ld^x^d^x^d^x'^.
(4.2)
Здесь правило такое: под интегралом пишутся функции Грина, начиная с
конца диаграммы, по всем внутренним точкам х' производится
интегрирование. (Нужно также следить за индексами /i, //, ... фотонных
функций Грина, чтобы они соответствовали диаграмме.)
Перейдем в импульсное представление. Для этой цели напишем функции Грина
в видр
При подстановке (4.3) в (4.1) или (4.2) мы видим, что вся зависимость
подынтегральной функции от координат ограничивается экспоненциальными
множителями. Поэтому интегралы по х\ легко возьмутся.
Рассмотрим, например, (4.1):
(4.3)
j е_^2(-Р2+Рз+/е)-гж/1(-рз+Р1-/е)^4ж^4ж^ _
= (27г)4(5(рз + к -р2)(27г)4(5(р1 - к-р3).
(4.4)
194
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
То есть в каждой вершине диаграммы в импульсном представлении (рис. 25)
