Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Грибов В.Н. -> "Квантовая электродинамика" -> 49

Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.

Грибов В.Н. Квантовая электродинамика — НИЦ, 2001. — 288 c.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 60 >> Следующая

где интеграл (4.67) может стать комплексным.
Рис. 29
Если в плоскости к2 пойти в область времениподобных к, т. е. к2 > 0, то
полюса pg, р\ начнут двигаться в плоскости ро, и при р(r) = р\ либо при Рз
= р*2 полюса зажмут контур (рис. 29), так что его невозможно будет
деформировать, чтобы обойти полюс, не пересекая при этом другого полюса.
То есть при некотором ко подынтегральное выражение на контуре
интегрирования обращается в бесконечность, а это означает, что в этой
точке интеграл (4.67) имеет особенность и может стать комплексным.
Определим ко из условия р(r) = р\:
к0 - л/т2 + {р - к)2 = \/т2 + р2,
ко = \Jm2 + (р - к)2 + \/т2 + р2. (4.70)
226
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
То есть мнимость возникает при достаточно большом ко, когда реально могут
родиться две частицы с энергиями
д/га2 + р2 и д/т2 + (р - к)2,
соответственно
fco = - л/m2 + р2 - \fm2 + (р - к)2; (4-71)
этот случай неинтересен, так как соответствует отрицательным
энергиям фотона. Запись (4.70) релятивистски неинвариантна. Чтобы запи-
сать это выражение в инвариантном виде, перейдем сначала в систему
отсчета, где к = 0 (это можно сделать в силу к2 > 0 ), тогда
к2 = к2 = 4 (га2 + р2),
т. е. особенности возникают при
к2 > 4га2. (4.72)
На плоскости к2 проведем разрез от точки 4га2 вдоль вещественной оси
(рис. 30).
Рис. 30
4.5. Радиационные поправки к рассеянию.
227
Ясно, что больше никаких особенностей в комплексной плоскости интеграл не
имеет. Пользуясь же аналитичностью интеграла (4.67), можем сразу написать
дисперсионный интеграл для Пс(к2):
П
(4.73)
к'2 - к2 '
Если он расходится, мы его можем улучшить, вычитая Пс(0) = 0, тогда
1 1
IT
:(/с2) = I J dkf2lmllc(kf2)
for2 _ 2 Д./2
А поскольку мнимость возникает при к2 > 4ш2, то
(4.74)
Пс(к2) = -
к2 f dk'2lmW{k'2)
7г J к'2(к'2 - к2) '
4 т2
(4.75)
Теперь вычислим мнимую часть 1тПс. Как мы видели, 1т{3?;2П(?;2)}
возникает из-за пересечения контуром интегрирования С при его деформации
полюса (рис. 31).
Рис. 31
228 Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Такой контур можно разбить на две части: С\ и С2 (рис. 32):
Рис. 32
причем интеграл по С\ - вещественный. Мнимая часть появится только от
интегрирования по С2, а этот интеграл сводится к вычету в точке р4. Итак,
полюсной вклад в 3k2H(k2) равен

2
(ftp
(27г)3 (ш2 - р2 - ie)2(ko - д/ттт2 + (р - к)2) Но
Sp().
777/2 - р2 - ^? 777,2 _ ^,2
т. е. вклад в мнимую часть дает только полюсной член (с ^-функцией).
Таким образом,
ЗЙтП(^) = -А [ -pL---------------s Q (4 -6)
^ ' J (2тг)3 2(k0 - V(tm)2 + (р - к)2)
или, используя, как обычно, соотношение
^ Р = d4p0(po)5(m2 -р2) = d4p5+(m2 - р2),
2ро
4.5. Радиационные поправки к рассеянию.
229
окончательно получим 3?;21тП(?;2) =
= -е2тт J -^^S(m2 - p2)S+(m2 - (р - k)2)Sp(). (4.77)
Мы получили мнимую часть, совпадающую с той, которая вытекает из условия
унитарности, т. е. дается диаграммой
где в промежутке реальные частицы. То есть снова подтвердили тот факт,
что фейнмановские диаграммы автоматически удовлетворяют условию
унитарности.
Раскрывая при помощи (4.68) выражение для SpQ, получим из (4.77):
3?;21тП(?;2) = -е2 J ^-^[16т2 - 8р2 + 8pk]5(m2 - p2)5+(m2 - (р - к)2),
(4.78)
но из ^-функций следует, что
р2 = га2, тп2 - (р - к)2 = 2рк - к2 = 0, 2рк = к2.
Отсюда
ImII(fc2) = - е2 8W3^24fc J S(p2 - m2)6+((p - к)2 - то2). (4.79)
Для вычисления этого интеграла удобно перейти в систему, где к = О, тогда
(р - к)2 - т2 = -2роко + к2 и
J -m2)S+(k2 -2р0к0) = J ^НРо ~ Р2 - то2)^ = - (48°)
(здесь ро = к2/2ко = ко/2; переходя к сферической системе координат,
имеем (ftp = р2dp х 4тг = 2irpdp2, так что равенство можно продолжить
230
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Таким образом,
^ ^ 167Г 3k2 V к2 4тг 3к2 V к2
Окончательно,
2. е2 8ш2 + 4&2 /к2 - 4ш2 е2 2т2 + к2 /к2 - 4т2
Т ^/7оч / 2т2\ / 4т2 ,, ч
1тП(к) = -з(1 + -р-)1/1--р-- <4-82>
Заметим, что в силу (4.69) 1тП(?;2) = 1тПс(?;2) с точностью до
коэффициента. Таким образом,
<"">
Вычислим (4.83) в двух предельных случаях к2 -> 0 и к2 -> оо. В первом
случае (А:2 -> 0), проведя замену ж = 4т/к2, получим
n'('2> = -3^r<fa'/T^(1 + f) = -I^' (4-84)
т. е., как и следовало ожидать, ПС(А:2) к2 при к2 ^ о.
Во втором случае (к2 -> оо) при ^2 <С к2 интеграл логарифмически растет с
к2, т. е. именно эта область и дает основной вклад, поэтому можно
написать
ттс/,2\ a fk dn2 а к2
Пс(к2) " - / - " - In - 4.85
07Г y4m2 Av 07Г Ш
(в (4.85) мы пренебрегли 1п4 по сравнению с In к2/т2). Логарифм, вошедший
в (4.85), фактически является главной проблемой квантовой
электродинамики. Например, в амплитуду рассеяния электрона внешним полем
он входит следующим образом:
1 -П^к2)
4 7 37Г тА
т. е. амплитуда может иметь полюс, физический смысл которого неясен, и
это реальная трудность для нашей теории.
4.5. Радиационные поправки к рассеянию.
231
Пока мы оставим этот вопрос и посмотрим на вклад поляризации вакуума в
амплитуду (4.63) с несколько иной точки зрения, а именно: амплитуда имеет
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 60 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed