Квантовая электродинамика - Грибов В.Н.
ISBN 5-93972-089-7
Скачать (прямая ссылка):
вид:
F = бсц(р2)Г°(р2,р1)ц(р1)1 _ де A°(g),
1 + Пс((72);
но при малых q2
учитывая, что
1 -Пс(д2)
Г?=7м + Л?,
получим
F " есп(р2)[7Д(1 + nc(g2)) + Al(p2,pi)]u(p1)Al(q). (4.86)
Все члены в квадратных скобках здесь пропорциональны 7^ и отличие
множителя перед 7^ в (4.86) связано со вкладом поляризации вакуума.
Ненулевой вклад вершинной части - выражает как бы неточечность заряда;
действительно, для неточечных частиц формфактор имеет вид:
п2 2 q г0
F(q) = 1 + 1/,
где го - среднии радиус распределения заряда.
Теперь займемся вычислением в первом порядке:
d4k 1 1 1
/0 N4-7^-----------;------г7м--------;-----Г^Т^' (4-87)
(2тг) г т - р2 + fa т _ р1 j, k
АСЙ = Лй - Лм(т,т). (4.88)
Из соображений релятивистской инвариантности, как мы уже говорили, можно
написать
u(P2)A?(p2,PiMpi) = wfeOHv + ba^q^ulpi). (4.89)
232
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Мы также писали
Гм = "7м + bcr^vqv,
где a = a(q2), b = b(q2), величину а(0) мы назвали зарядом.
Для величины же a(q2) имеем в силу (4.89)
а(0) ф О,
но и 6(0) может быть отличной от нуля. Мы показали, что в случае b = 0,
электрон обладает магнитным моментом, равным магнетону Бора. Если же b ф
0, то это означает наличие у электрона дополнительного момента,
называемого аномальным магнитным моментом. Из вида (4.87) ясно, что
особых оснований полагать Ъ(0) = 0 нет, что подтверждается и
непосредственным вычислением интеграла.
Таким образом, хотя мы начали строить теорию, исходя из простейшего
взаимодействия a(q2) = const = е и b(q2) = 0, при учете высших
приближений появляется и формфактор (зависимость a(q2)) и аномальный
магнитный момент. Это легко понять из физических соображений. Рассмотрим
процесс
I
I
I
I
Он означает, что даже если электрон покоился в некоторый момент времени,
то, испустив фотон, он приобретает импульс, и внешнее поле
взаимодействует уже с током:
Естественно, из-за этого возникает магнитный момент. Кроме того, появится
некоторый формфактор, поскольку заряд эффективно распре-
4.5. Радиационные поправки к рассеянию. делится по области г о ~ 1/га:
233
Впервые вычисление магнитного момента провел Швингер в 1949 г. и получил
выражение
Р = Ро (l + - ^ • (4.90)
Приведем примерный путь вычисления фейнмановским методом. В первом
порядке по е2 для имеем
Q
Л(1) -
¦/
d4k 7^(ш +р2 ~ fc)7^(TO + Pi ~ k)lv (27г)4г [га2 - (р2 - к)2} [га2 - (pi
- А:)2] А:2
Для вычисления такого интеграла Фейнман пользуется тождеством
1
1 If daidoi2da5(ai + + аз - 1)
abc 3!
/:
о
аа i + bot2 + саз)3
(4.91)
ОМ
(4.92)
В нашем случае 1
abc [га2 - (р2 - к)2} [га2 - (pi - к)2]к2
daida2das5(J2 ai ~ 1)
У
3! J {азк2 + а2[(р2 - к)2 - га2] + a\[(pi - к)2 - га2]}3 Из-за ^-функции
аз = 1 - а\ - "2, тогда
daida2das5(J2ai ~ 1)
- = - [
abc 3! J
[к2 - 2k(aipi + а2р2)]3 '
234
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Сделаем замену
k' = k - aipi - OL2V2,
при этом
к[к - 2(aipi + a2p2)\ = (kr + ot\p\ + a2P2)[kf - (aipi + a2p2)\
т. e.
1 If daida2dasd(J2 ai ~ 1)
abc 3! J [k'2 - (aipi + "2Р2)2]3 *
Таким образом, для Лм будем иметь
(4.93)
х
К^ = \\ J da1da2da3dC^2ai - 1)е2 J
7г,[то + (1 - а2)р2 - aipi - k'Yif^m + (1 - а1)р1 - а2р2 - к'}7"
[к'2 - (ai + 0L2 )2т2 + OL\OL2 q2}3
(4.94)
Здесь учтено, что q2 = (pi - Р2)2 = 2т2 - 2pip2. Числитель
подынтегрального выражения (с учетом того, что члены, линейные по fc',
вклада в интеграл не дадут в силу их антисимметрии) можно представить в
виде:
/i(g2,aba2)7M + /2(g2,ai,?*2)0711^ + к (4-95)
Теперь интегрирование по dAkr сводится к вычислению двух интегралов:
[ d4kf 1
1 = J (2тг)4г (к'2 - А)3 ( ^
f d4k' к'2
2 ~~ J (2тт)Ч (fc'2-A)3' ( ^
В них всегда можно развернуть контур интегрирования по dk'0 вдоль
4.5. Радиационные поправки к рассеянию... 235
мнимой оси, так как при этом он не пересечет особенностей:
При этом
k'0 = ik'4 и к 2 = к$ - к'2 = -к2 - к'2,
т. е. получатся интегралы по евклидову пространству. Переходя к
сферическим координатам и интегрируя по углам, получим
dAkf = ir2k2dk2,
т. е. будем иметь
dAkf 1 Г iT2k'2dk'2
h = -
Г dAkr 1 f
J (27т)4 (к'2 + A)3 '
(2тг)А(к'2 + А)3 ' аналогично,
Г тгЧ'Чк" [_____________________________
2 J (2тг)4(к'2 + A)3 J (27г)4(ж + А)3
о
Первый интеграл равен
оо
7г 2xdx 1
/i = -
/
(27г)4(ж + А)3 1б7Г2А
о
236
Глава 4. Перенормировки. Радиационные поправки
Второй
h =
оо
167Г2 J
(У - A)2dy
167Г2
167Г2
In
оо оо оо
^-2д/^+Д* 1%
У J У2 J У6 La а а
3
f-)--va; 2
т. е. при больших к'2 он логарифмически расходится. Эта расходимость
убирается перенормировкой, т. е. вычитанием Лм(га,га), поскольку эта
величина содержит точно такой же логарифм In(y/A(q = 0)). Однако
непосредственно из вида (4.91) вытекает логарифмическая расходимость
интеграла и при малых А:2, если р\ = т2 и р% = га2, т. е. для реальных
электронов.
Действительно, знаменатель (4.91) в этом случае имеет вид:
[га2 - (р2 - к)2} [га2 - (pi - к)2]к2 ~ 2р2к • 2pikk2,
и при малых А:2 опять возникает f dAk/kA.
