Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
(4.112) аналогично (4.115) следующим образом:
",<")
4V."> / */",")
",(")
х - t
t - а0(е)
dt
Qty, ?) = jPn(f, eVI3(<. e)>
a3(e) ^ ^ (r)i((r)) i---------------------------------
= +?"(")' - 5,(0' =
P(t) = (t - " 0(a3 " 0- (4.123)
al(?) = /V^). a3^ = ^)' c'i<a2<r < a3-
Остальные обозначения в (4.123) совпадают с использованными в (4.115).
Для интеграла (4.123) справедливо следующее утверждение
(доказательство проводится аналогично утверждению 4.3).
Утверждение 4.4. 1) Пусть: h(t) G С*+1 [0, г], a^t) G
е С*+2(0, т], s= 1Л, IGZ; 2) v(t) > 0, а(т)*0.
Тогда для интеграла /^(т, е) в (4.123) при т = ag существует
такое число В*(у),
что
4°(т,е) = лг(-1)/5/+("/)Ф/(т)0)?_1/4 + о(1) (е -* +0), (4.124)
где Ф{(г, 0) и В* (tj) имеют
вид
а К(т) и Г(т)-полный эллиптический интеграл первого рода и гамма-функция.
в. Дозвуковой случай, т > ag. В этом варианте согласно
формулам (4.99) пределы интегрирования зависят от расположения г
относительно точки ^ (см. (4.95)).
Положим сначала, что as < т < t2 (v(t) > 1/т), а2(т) >
Согласно (4.99) пределы интегрирования в этом случае следующие:
"300
Формулы (4.111) для функций ?.(/) остаются в силе и в этом
варианте, а в (4.113) необходимо изменить следующие соотношения:
"2(0
/2/>(г,е)= f lf(t) dt (е > 0),
"3(?)
",(*)
(4.126)
ll ф) = аг-Х->0, i!(0 = -a(0 + f =° (< = аР>
• ' S. Л N /V \
< 0
(t < as),
V >0 (*></),
(4.127)
199
х - а
--T1 = ^-as) t=a V s
I
<0
К <T.<r>
Следовательно функция ?{(t) имеет в точке / = ag Графики зависимостей
^(t) (i = 0, 1, 2), построенные с уче соотношений (4.111)* (4.113) и
(4.127), а также облас
определения V интеграла J(r)(x,e) приведены на рис. 4.11.
Рис. 4.11. Область определения интеграла второго типа /^(т,")
(дозвуковой случай, а < т < f_)
$ Z
В окрестности точки t - ag нарушаются условия однозначности обратной
к !j(/) функции. Пределы интегрирования а^е) и "3(е) в (4.126) являются
обратными к ^(/) функциям соответственно на интервалах (а, х] и [0, а).
Разложения функций
S S
а.(е) (г = 0,1, 2) при е -* 0 совпадают с (4.114), а для а3(е) имеем
а3(е) = а30 + а^е + а^е2 + о(е2) (е -* 0),
(4.128)
(r) < аЗО < as' а31 = alV а32 = а12' ^
Представим теперь интеграл 7^(т, е) так:
$>(х,е) = /?(т,е) + 7§(т,е),
200
а
s
ig(т,е) = / 4°(0 dt (e^O),
<*3(*)
a2(e)
(4.129)
4°2(^e) = / dt ^> °)*
a
s
",(*)
7g(T,e) = / Ff(t) dt (e < 0).
a
Выберем ?j (см. рис. 4.11) таким образом, чтобы ?j <
< min (!0(ap, -^(ap). Тоща из выражения (4.110) для функции
том интегрируемую особенность в точке t = a3(e) при lei < Поэтому
представим его в следующем виде:
случаев: е > 0 и е < 0 (см. рис. 4.11). Заметим, что при t > ag выполнены
условия существования обратных к ?.(*) (i = 0, 1, 2) функций "(.(е). При
этом остаются справедливыми разложения
интегрируемую особенность в точке t = "2(е) и сингулярную
особенность в точке t = "0(е). При е = 0 особенность в точке
t - "2(0) = т становится неинтегрируемой, так как "j(0) = т. При
е < 0 имеется единственная интегрируемая особенность в точке t - aj(e).
Однако при е = 0 она также переходит в неинтегри-
4°(0 видно, что интеграл имеет единственную и при
(4.130)
t - a3(e)
(4.114).
При е > 0, как следует из (4.110), интеграл 7^(т, е) имеет
201
руемую при t = т. Поэтому представим интеграл /^(т, е) при е ^ 0 согласно
формулам (4.110) и (4.129) так:
а (е) 1,2 '
4°2(т' ?) = / фг^ ?)
X - t
t - а0(е)
dt
Ф2/<)?) = 1^0^' ?)^1^' ?>^' ?)'
"!<") " * ч •*/"i(?) ~ *
?i(*" ?) ~ е - ^(г)' 52<0 " V а2(е) - t '
(4.131)
где функции ^>0(/, е) и ^>2(/, е) определяются соответствующими формулами
(4.115).
Для интеграла /^(т, е) в этом случае справедливо утверждение
(доказательство проводится аналогично утверждению 4.3).
Утверждение 4.5. Пусть: 1) h(t), a2(t) G Cs+1(0, т], s=l/l, /GZ; 2)
v(t) > 0..
Тоща для интеграла ^(т, е) в (4.129)-(4.131) при
ag< г < t существуют такие числа В*(г}), что
Г т - 1
