Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
Из уравнения (3.136) с использованием (4.77) и (4.81) получи*
А
ДО) -
а2 =
"п+Г
(и + 1)! 2
о (а:
,n+lj
+ и
сОЗ
+ А = 0,
(п + 1)!
(4.82|
и+1
Ал+1(1 + о(1)) (т -" +0).
Тоща для знаменателя в (4.78) с учетом (4.80) имеет место следующее
асимптотическое представление: ,
А _!_
f(a2) = ^ ^(l + о(1)) = -А1пЛл+1(1 + о(1)) (т - +0), (4.83):
In
я:;
п+1
(я + 1)"+1.
Подставляя разложения (4.80) и (4.83) в формулу (4.78) для скорости
расширения области контакта, получим
*т) = v0nT "(1 + 0(1)) (г -> +0),
(4.84)
V0n
\ т п
1
п+1
_ я - 1 ап ~ п + Г
Таким образом, начальная скорость конечна только в условиях касания
первого порядка (л = 1):
V0 = v01 =
V
еЗ_______
Aj т
(4.85)
При касании более высокого порядка (я > 1) скорость расширения области
контакта в начальный момент времени равна бесконечности (г?0 = +").
182
Для рассмотренных в § 3.6 поверхностей контакта At в
формуле (4.85) определяется согласно формулам (4.81) и (3.130)- (3.132)
так (у13 = 0): параболический цилиндр-Л} = 1/а, эллиптический и
гиперболический цилиндры-= с/а2.
Важной характеристикой пространственно-временного носителя
перемещений (4.11) является выпуклость его границы д?). При выводе
формулы (4.35) для интегралов /^., входящих в
представление (4.15) для контактных напряжений, полагалось, что кривые Lj
и 12 в (4.9) выпуклые (а2(т) < 0). Покажем, что для
гладких выпуклых ударников на начальном этапе взаимодействия имеет место
строгая выпуклость (а2(т) < 0). Дифференцируя
равенство (4.78), найдем
h(r)\f(a)]2 + h2f(a.)
aJx) --------------------^-------------------------------------К
(4.86)
2 1Г(в2)]3
Для второй производной / "(а2) аналогично (4.83) может быть получено
следующее асимптотическое представление:
Паг) = ~ + о(\)) =
= -Л2пА^'1)/(,г+1)(1 + о(1)) (т -* +0),
(4.87)
/А \ 2/(п+1)
Подставляя разложения (4.83) и (4.87) с учетом (4.79) и (4.80) в
формулу (4.86), для ускорения а2(г) границы области контакта Q найдем
а2(т) - V + о(1)) (г -* +0). (4.88)
Здесь коэффициенты и §п зависят от начальных значений FQ3 скорости
движения ударника:
wm = п(п + 1) при V03 = О
я tn\V \1/'("+1) -PJ_ 03)
I A
I n ,
W0n = anV0n> К = V+V
(490)
183
где ап и vQn-определяются равенствами (4.84).
Отсюда имеем, что на начальном этапе взаимодейс а2(т) < 0, причем lim
aJr) = -оо. При нулевой начальв г -" +0
скорости ударника и касании первого порядка (га = 1) необход более
детальный асимптотический анализ, требующий учета; асимптотических
разложениях членов более высокого порядка.
Отметим, что полученные асимптотические формулы д скорости и
ускорения границы области контакта фактически : связаны с уравнениями
движения ударника на сверхзвуков* участке (3.139) и справедливы во всех
случаях взаимодейстк гладких выпуклых тел с полупространством.
Далее будем полагать, что на рассматриваемом времен интервале [0, т]
и(т) > 0, ajт) < 0 и v = lim v{t) = +оо. Кр
*• U , л
х +0
того, учтем, что при aQ = 0 xQ1 = х, xQ2 = -х. Тоща, при во внимание
монотонность функций а2(т) и v(r) для интег Iki (4.35), входящих в
формулу (4.15) для напряжений ст" получим
V*' т) = Н(х.(т))
(2)
Н(т-т]к\х\) j Fk.(t)dt + 0
+ Я((-1)'х)Я(^Ы - г) ; Fk.(t)dt\ +
+ Я(-х.(т))Я((-1)'х)Я(т - rsk)
H(r-Vk\x\) J Fk.(t) dt + 0
+ H(vkIxl - x)H(r - rsk + Vkx.(Tsk))f Fk.(t) dt
J3)
(4.S
§ 4.6. Напряжения в окрестности границы области контакт
Как следует из формул (4.15) и (4.91), контактные напряжен^ в случае
гладких выпуклых ударников являются непрерывным^ функциями вне границы
области контакта х;.(т) = 0. Для иссле
дования поведения напряжений в окрестности границы в сил; симметрии
задачи ограничимся неотрицательными значениям: х (х > 0) и введем
параметр
е = х,(т) = aJr) - х.
(4.92
184
Положительные значения параметра е соответствуют внутренности области
контакта (е < 2я2(г)), отрицательные-внешности.
При достаточно малых по абсолютной величине значениях е как следует из
формул (4.15) и (4.91) с учетом (2.57) и (4.2), напряжения можно
представить так:
2 2
а0(т, е) = ст330[а2(г) - е, г] = к(т)Н(т)Н(е) - ? 2 WT' е)'
