Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
°о(т> ?) = ~ктК^и1п |?| + Л04^ + °06 + °^) (е ** ±0)>
т (4.150)
*06 " / Kf) ~Kt d* ~
о
т*'° . а,(т) + aJt)
- / Kt) - -д- ~ Гу2 [Л^> "2М + a2(t)] dt +
О
х
+ /^) д7гд(Лг> Ла)^~
о
Т''°. а (г) + а (О
- / Kt)~ ~м 'ТПШ' а2& + а2(r)] dL
О
Как следует из формул (4.145)-(4.150), знак напряжений на границе
области контакта определяется знаками коэффициентов главных членов
асимптотических разложений ,As, и
AfA. Так как > 0, ^0s > 0 и Л* > 0, то при 0 < х < tj2 контактные
напряжения являются сжимающими.
Знак коэффициента А*4 определяется знаком функции
R2l(v2, 1). Как показано в § 2.5, уравнение i?21(z, 1) имеет корни
z = 0 и z = cR, где cR-скорость волны Релея, 0 < cR < 1 !г\. Так
210
как Л21(0, 1) = 0 и ^21(1/j/2, 1) = 1, то, очевидно, ^21(z, 1) > О при г
> с2, и i?2I(z, 1) < 0 при 0 < z < с2. Таким образом, А*4 > 0 при v > cR,
= 0 при v = cR, и А*4 < 0 при v < cR. Следовательно, на участке т > tj2
напряжения на границе области
контакта меняют знак при переходе скорости расширения области через
скорость волн Релея. А именно, при v > cR напряжения
сжимающие, а при v < cR-растягивающие.
Рассмотрим теперь поведение контактных напряжений для случая, когда
полупространство занято акустической средой (у -* ос). Из (4.145)-(4.150)
для давления />0(т, е) = -а0(т, г)
найдем
при х < т j, v > 1 (см. (4.145)):
р0(х, е) s 0 (е -* -0), (4.151)
р0(х, е) = h(x)А+ + о(1) (е -* +0), А+1 = v/Vv2 - 1; при T = Tsl. v-
l (см. (4.146)): р0(х, е) s 0 ((е -* -0),
р0(х, е) = А(т) (Ае~Ш + Л+) + о(1) (е -*
+0), (4.152)
Л - А<п = 1;
при т < т < /j, v < 1, а2 > т (см. (4.147)):
р0(т, е) = А(т) In lei + А*) - D* + о(1) (е - ±0),
" ^ Жп + v7
Af3--------+ -?=%.
(4.U3)
jtV 1 - v яV 1 - tr
120
+
ще "0 и v~ определяются формулами (4.139); я/>м х s fj, а2 < т (см.
(4.149)):
Р0(т, ?) = А(т)In lei + + о(1) (е - ±0),
(4.154)
211
1 •?. ",(*) + ",(0 % - -if m---T- ..dt+
05
AfVA^ - [a,(r) + a,(012
, 1 /• L/a Aa dt
*1 щы^гг^
Отметим также, что для гладких тел при v(0) = +" из формул (4.145)
можно найти контактные напряжения в точке первоначального контакта:
*ззо |т_ = ^(+0,0) = -А(+0), (4.155)
что соответствует гипотезе плоского отражения и справедливо тел любой
геометрической формы [182].
Сравнение особенностей напряжений на границе области! контакта для
задач о внедрении клина (4.64), (4.65) и гладког выпуклого ударника
(4.145)-(4.150) показывает, что на дозвуко-J вом и сверхзвуковом режимах
характер поведения напряжев совпадает, а на критическом режиме {у = 1,
= 1) существенное!
влияние оказывает кривизна граничной поверхности (равенство! или
неравенство нулю второй производной а2(т)). Аналогичным
вывод следует из сравнения особенностей давления на поверхности!
акустического полупространства (см. § 4.4 и формулы (4.151)-1
(4.154)). j
I
§ 4.10. Алгоритм вычисления контактных напряжений
Для определения контактных напряжений вне границы области ( контакта (х
Ф а2(т)) согласно формулам (4.15) и (4.91) необходимо '
вычисление соответствующих интегралов. Если точка т0/ принад- ;
лежит отрезку интегрирования, то подынтегральная функция имеет
сингулярную особенность (4.39). В противном случае интегрируемые
особенности совпадают с пределами интегрирования. При этом любой из
рассматриваемых интегралов может быть сведен к комбинации интегралов
следующего вида:
т
2
/,(?) = / ~^=dt,
т
2
(4.156)
/2(Р) = / dU <p(t) 6 eft,, т2].
Можно показать, что при равномерном разбиении отрезка интегрирования
[т}, т2] с шагом h и линейной аппроксимации
212
функции <p(f) на каждом из отрезков для интегралов Jx{f) и J2(<p)
справедливы следующие квадратурные формулы:
п п
* LX(<P) = X w\k^k' J2^ * L2^ ж 2 w2k*k'
к=О ?=0
