Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
та = т1+ЛА, "а,-И,, t"2n = V "fc = "*+,+"*
(к ~ 1, 2, и - 1), (4.157)
V/t - * + Г
2>/а Г Vn - к '
пк
1 +
лпк
2Vh
Vk~ 3 s
пк
1 +
пк
<Рк ~ P(Tk)' snk = V/i - * + V/г - к 1,
wl* = "W
Для соответствующих погрешностей и e2(f>) квадратурных формул (4.157),
следуя работе [135], можно получить оценки:
\5/2
1/.(у>) - L{<p)I = е;(р) < 2mVt2 - Tj Л2 = 2M
ej(<p) = 0(h2) (Л -* 0), eft) = 0(n~2) (n-*">), (4.158)
lf"(<)l S M, t G [Tptj] O' =1.2).
В том случае, когда xQ. принадлежит отрезку интегрирования,
любой из входящих в формулы для напряжения интегралов может быть
представлен в виде комбинации регулярных интегралов вида (4.156) и
следующего интеграла:
(4.159)
где функция Гуд(0 определена формулами (2.63).
Учитывая (4.39), представим последний интеграл так:
2 Л 1
г/о
dt,
(4.1С
V(t - t)2 - x2(1)
r"(0 = rr[^f( t),T-t],
Tr(x, t) = -^TL_T Гfr(x, x), h. = h(%p (j= 1,1).
Интеграл Jr является регулярным, и может быть сведен опят к
интегралам типа (4.156). Сингулярная составляющая Js може быть найдена в
явной форме при известной зависимости х. глубины погружения А. Учитывая
определение х. (см. (4.15))|
вычислим интеграл J для рассмотренных ранее типов поверхно-Ц
т
стей, ограничивающих падающее тело (см. § 3.6). При ; >томf необходимо
отдельно рассматривать значения координаты дс = 0 (tj = г0. = 0) и х > 0
(tj < т0. < т2).
При х = 0 особенность в интеграле Jg интегрируемая. Тощ$,|
для него получим
параболический цилиндр (см. (3.130))
/s = Я,(0; 0, т2) = /
dh 0 V2aA
(4.161)
эллиптический цилиндр (см. (3.131))
dh
а 0 VA(2c - А)
с а2(т2)/а
= - arctg т -
,7- г, , а 1 - А(т_)/с
(4.162)
гиперболический цилиндр (см. (3.132))
= ?ln
а о VA(2c + А) а
А(т2) а(г2)
1 +----------Ь
а
(4.163)
При х > 0 jCj(*) > 0, и поэтому в интеграле Js необходимо
рассматривать только х2 = а2 - д:. Вычисление J приводит к следующим
результатам:
214
параболический цилиндр
/|22 л -^ + -1п 1х,1 а а 2
, (4. * 64)
эллиптический цилиндр
А
/ =^(^;rrr2)= / -
dh
а, /а "
arctg ¦ ;¦ +
1 - А/с aVl - *2/а2
[in 1х2
- 2 In (V(l - а2/а)(1 + л/а) + V(1 + а2/а)( 1 - л/а) ) ]
(4.165)
гиперболический цилиндр
Js ~ Hl(x; ТГ т2^ " / а
dh
Л( ^ VA(2c + А) - дг
= ? 2 In /Va7c + V2 + А/с\ +. ---
"I 1 ' evTT777
In IXjl -
- 2 In (^Va7c + (l + Vl + х2/а2 ) л/2 + A/c
. (4.166)
Результаты расчетов контактных напряжений при вертикальном ударе по
упругому полупространству абсолютно жестким круговым цилиндром (а = с =
1) приведены на рис. 4.14 и 4.15. Материал полупространства-сталь (rj =
1,871). Остальные параметры задачи следующие: т = 4,5; VQ3 = 0,05; R 3 =
pQf/(r);
Р0 = од.
Кривые на рис. 4.14 демонстрируют распределение напряжений по
координате х в различные моменты взаимодействия. В соответствии с
полученными выше выводами бесконечные разрывы
215
-2
Рис. 4.14. Распределение контактных напряжений по области контакта в ^
различные моменты времени т
на границе пятна контакта появляются при скорости расширенияj| v < 1, т >
т j. Границе в этом случае соответствуют вертикальные
штриховые асимптоты.
Рис. 4.15. Зависимость контактных напряжений от времени в различных
точках х (плоская задача)
216
Зависимость от времени напряжений в различных точках полуплоскости
показана на рис. 4.15. Штриховая кривая соответствует напряжениям на
границе области контакта (х = а2) в
сверхзвуковом режиме (v > 1). Если в момент начала взаимодействия точки с
ударником скорость расширения v > 1, то скачок напряжений конечный (х =
0; 0,02; 0,04). В противном случае (v < 1) напряжения отличны от нуля еще
до начала взаимодействия и терпят бесконечный разрыв в момент начала
взаимодействия (х = 0,08).
Расчеты, проведенные для параболического и гиперболического
цилиндров, показывают, что зависимости контактных напряжений от
