Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
*=1/=1
WT'?) =
Лй)(т' ?) ~ *4/0 '>(г' е) + 2 -4 (о(г' е) ?)'
I/O
(4.93)
4 1Ю'
где интегралы имеют следующий вид:
г(2)
л
4i0(T>?) = я(т - V / Fki№ dt (? * °)>
JV -О)
*2 12
/g0(r, е) = Я(Т - tk) / ^2/(0 dt + H(tr т) / ^2/(0 Л (е > 0),
О
/3)
*2
^е> = - я(т - т**>
Vo -
п
Г(,)
*2
т(3)
<12
(е < 0),
At
%(*> ?>
ж.
t, в) = А? -
JiSk.{t, г)' V' е) ~ V ibiiV' е) '
(4.94)
У01(*, е) = Xj(0 = |01(t) - е, |01(<) = а2(т) + й2(0,
yQ2(t, е) = x2(t) = ? -102(0, ?02(0 = Аа = а2(г) -
а2(0,
At - т - t,
a tk (к = 1, 2) согласно (4.37) определяются так:
4 = 41 = hr "2***) = h > V (4*^
При выводе формул (4.93) учтено, что при г > и малых ¦ справедливо
неравенство:
T-Tsk + WT> = T-Tsk~ *к1а- агМ] +^?= j
= (т - т,*)0 - *А(0>+ 7*е ~ т"* < т* < т* (4,9€
Пределы интегрирования в формулах (4.94) и особая точк т0 для
интегралов 7^ в соответствии с (4.24), (4.30) и (4.32 являются корнями
уравнений: ¦
' - "ЙЧ-^Ъ - о, !"(<) = i02(0 - '
<4.97^
= W*)+ А//Ч' ?"(0 = WO ~ A*Af*" ;
Ую(т0, в) = е - " 0, т0 = г02. ]
Заметим, что соотношения (4.97) неявным образом определяю* функции
г?/3)(е), т&(е), Т^(б) и т0(е). При этом последний
являются обратными соответственно к функциям *И(0 и 102(<).
Далее достаточно исследовать только интегралы /^0(т, е), так как при
г] = 1 они переходят в интегралы /^0(т, е). В целях упрощения обозначений
вместо /^Q(r, е) рассмотрим интеграл /Дт, е) (т > f2): а2(г>
4°(г-?) = / ^°(о
jfit) =
о
Af
%(*> е)
/_М_
с)'
(4.98)
^(Ле) = Vat2 - tj2^, е), "2(е) = т2?(?)' W = ^21^'
186
а вместо /^0(т> е) в различных диапазонах изменения т введем интеграл
"2("0
=
/ JFf(t)dt (s > 0), а,(е)
0 (е < 0),
"2(е)
/ ^(0^ (е > 0),
4V.?) =
"3((r)>
/ ff(t) dt (е < 0),
а < т < /2,
#(г,?) =
=
"3(*0 а2(г)
/ /f(0 Л (е>0), 0 ",(?)
/ (? < о),
о
r>tr
At
y02(t, е)
/ т
3tS2(t, е)'
(4.99)
S2(t,e) = VAt2 - ?j2)%2(t, е),
afE) = t22^ 0 = 1. 2, 3), а0(е) = т0(г),
?/0 = %22.(fy (/ = 1" 2), l0(0 - ^02^' as = Ts2'
В дальнейшем для различных интервалов изменения т
применительно к интегралу f2(x, е) с учетом значения скорости
расширения области контакта v и принятой ранее терминологии введем
следующие названия: 0 < т < -сверхзвуковой случай,
г = а$-критический случай, т > -дозвуковой случай.
Далее рассмотрим асимптотическое поведение интегралов (4.98) и (4.99)
при е ¦* 0 отдельно в силу их специфики. Назовем их интегралами первого и
второго типов.
187
§ 4.7. Интеграл первого типа
В соответствии с формулами (4.95)-(4.98) представц , с) в следующем
виде (г > t):
"2(")
/Дт, е) - /
Ф^, е) щ ?у
S(t, е) = Va2(e) - t, Ф/Г, е) = ^ <plQ(t, е) Vpj(f,
е>2(/, е) ,
At
щ а2(е)
uty
(4.1(
ft(0
1rp sf(*•е) = t? - f2W1 (0 - .
дг
д<
^l(0 - + Т] ' ^2^0 - ^01^0 Yj ' ? ~
В силу принятых допущений относительно a2(t) для функдй li(0. 12(0 и
|01(<) при т > т2 > "s имеем
^01 = а2^' ^01 ^ ~ ^iCO = = ^fl2^'
^oi(0 = "г(0 > °>
lj(0) = а2(т) - г/?7 > 0, |2(0) = а2(т) - т/rj < 0,
