Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
(4.101
^0 = "г(0 + l/r! >0* ^oi(0 = ?i(0 = < °>
> 0,
t < а ,
s'
= 0,
t = а ,
' s'
< 0,
t > а .
Графики зависимостей ?j(0> %2(t) и ?01(0> а также област1
определения V интеграла 1*р(т, е) представлены на рис. 4.81
Отметим, что условия (4.101) гарантируют существование обра1 ной к ?2(/)
функции "2(е) в некоторой окрестности точки е =
Очевидно при соответствующих условиях на a2(t) и h(
функции <pQ(t, е), <p2(t, е) непрерывны на множестве V Ц
= {(Л е)1 -ех < е < sv 0 < t < а2(е)} ^ < т/rj - а2(т)), a <px(t,
е)Н
на множестве U2 = V\{t = а2(е)}. И, следовательно, ФДг, е) Е-
€ C(U2). Область V на рис. 4.8 заштрихована.
188
Рис. 4.8. Область определения V интеграла первого типа /|^(т, е)
Рассмотрим возможность доопределения функции е) на
кривой t - а2(е). Для этого введем функцию
V>(t,e) = [е-?(<)]/[*-ot(e)]. (4.102)
и докажем следующее утверждение.
Утверждение 4.1. Пусть: 1) ?(<)GC9+1[0, rj (q G N)\
2) |'(0*0, a(?(t)) = t, tG [0,r].
Тогда существует такое е, > 0, что для любых A; < q функцию
y;(t, е) в (4.102) можно доопределить на t = а(е) таким образом,
что xpfXu г) G C(U), где U = [0, т] х [-e^Cj] (см. рис. 4.8).
Доказательство. Заметим, что условие |'(0 * 0 гарантирует
существование и непрерывность обратной к ?(*) функции а(е) на [0, /] и
неравенство 0 < а(е) < т. Введем
обозначение 11ф = U \{t = сс(е)}. Очевидно существует rp^k\t, е) G
G C(UJ (0 < к < q). Рассмотрим любую точку е0 G [0, е,], tQ =
= a(?Q), efl = ?(г0). Представим функцию ?(*) формулой Тейлора
порядка ?+1 в точке < = tQ:
№ = 2 ~ V*+ ° [<* " Ъ>*+1] (г - V-
Л=0
189
Тоща для функции tp(t, е) при е = eQ полним
д ?(*+1)(<Л
W' е(Р ~ " 2^ (к + 1)! ^ " V* + °[(* " *<р*] ^ ¦* *<Р'
Доопределим функцию xp(t, е) так, чтобы
Vf\ ео> = + Х)- °^s"' (4.ЮЗ)
Покажем, что для доопределенной таким образом фун* ip(t, е)
производные ^k\t, е) непрерывны в любой точке (*0, afl кривой t = а(е).
Для произвольной точки (t, е) е 1/^ из (4.102) использованием формулы
Лейбница найдем
^ *> - rfSr - i - rt!
(<-")
(* - ")'
I
Раскладывая ^p\i) по формуле Тейлора порядка к + 1 - р в точке t =
а(е), после некоторых преобразований приходим к| следующей формуле:
|
/=1
, (и _ "Ч| , .. min (*J)
V 2 (-i)к-р^Л=^7 2 <-4*r-
п=П ' п-П
ty(r_a)*+w + °(i) (<->"(*)),
р=0
Учитывая, что имеют место равенства [145]
р-о
fflin (?,/)
2 (-i/cf =
р=0
(-1/с^, *</,
0,
1,
А: й: j > 0, к = } = 0,
для коэффициентов А^. найдем
1
А,. =
ЛО'-i-fc)!' J*kl=1>
0, 0 <j < к,
1,
/ = * = 0.
190
Тоща для ip(k\t, е) окончательно получим следующее асимптотическое
представление:
е) = ~АкМ1^к+1)(а) + 0(1) (t-*a(e)),
А = лкМ 1 к+Г
Полное приращение е) в точке (tQ, Eq) имеет вид
&j>f}(t, г) = е) - "о) =
= 1${к+1%) - $(к+ ^("(е))] /(*+!) + 0(1) (t ¦* <*(е)).
В силу непрерывности функций а(е) и ?^+1\*) получаем доказательство
непрерывности ^k\t, е) в точке (tQ, eQ):
lim Д*С*> * 0, lim [/ - а(е)J = t. - а(е) = 0.
t-*t t-*t
О о
в -* е е -* е
о о
Таким образом, е) е C(U).
Из доказанного утверждения вытекает Следствие 4.1.1. Пусть дана
функция
(4Л04>
ще |(i) G C^+I)(f), i(t) * 0. Тоща у ft, е) можно доопределить
так, что существуют производные V>{*>(/, ?) G C(U), к < q.
Доказательство. Очевидно функции, определенные равенствами (4.104) и
(4.102), связаны между собой таким образом: е) = l/y(t, е).
Производные функции tp(t, е) могут
быть доопределены формулой (4.103). Так как у>(а, е) 0, то возможность
доопределения функции е) вытекает из формулы
Лейбница:
<!"'"> - -"bj i р=1
