Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
параметра [195], и требуются специальные исследования.
Заметим также, что предел функции, стоящий в квадратных скобках в
формуле (4.110) для не существует при
(t, е) -* (т, 0). Действительно, пределы по двум кривым t = а^е) и t =
а2(г) различны:
х - t ,. х ~ ai(e)
lim v (t = lm а (гЛ-тЧ = -Ч'
е -" +0 *02' ' ' е -* +0 а\\е)
t = a((e)
r-t т - a2(?)
llm х~ТП) = 7=~a(?= V'
s -" +0 *02' ' ' s -* +0 r 2' '
* = a2(E)
Для анализа интеграла (4.112) представим его в следующем виде:
""(*)
f(x ,в)= / Ф#,е)
",(*)
X - t
%(?)
dt
5(0'
(4.115)
5(0 = V7X0, 7(0 = (t - ai)(a2 - 0,
Ф/^' е) = е) ^1^' г)^2^' е) '
< - "/?)
^ = ? ~|.(0 = °' *'
7*
195
Для интеграла (4.115) может быть доказано следующе утверждение (
доказательство приведено в приложении В).
Утверждение 4.3. Пусть: 1) h(t), a2(t) е Cs+1(0, т], s- IЛ,
I е Z; 2) v(t) > 0.
Тоща для интеграла ^(т, е) в (4.115) при г < ag существует^ такое
число В*(у), что
е) = ^(-l/iJ+fo^T, 0) + о(1) (е - +0), (4.116)]
ще Ф/т, 0) и 5* (т/) определяются так:
Ф/т, 0) = B+(V) = 1 (/>0),
W(t)V9V(t) - 1 1
K(v) = B+_s(v)= i (~1)рсу0у_р (КО),
P-0
= -Щ = ~aii, ^T>°) =
0) = J?t<r) - 1' ^ °) = Vv(T) + V
-(P + l)^p+1 + (*P + - РаиагК-1 = °'
v+ = 1 v+ ____________1____ z _an+^2i = _ V2ATL............
о ' -1 /--------* 21 - 2 .2.2M t'
(4.117):
^u"21
Л2(т) -1'
а коэффициенты даны формулами (4.114).
Достаточно прозрачное истолкование результата (4.116) можно получить
с позиций теории обобщенных функций. Для этого представим интеграл
(4.115) так:
lf(г, е) = лВ+(т!) J Ф//, e-ftft, е) dt, 1
Х{.*, е)
R
' X - t'1
nB+S(t)
t - a
(4.118)
W(t-ai(e))-H(t-cc2(e))].
Фактически повторяя доказательство утверждения 4.3, можно показать,
что для любой функции Ф(Г) е S (5-пространство основных быстро убывающих
функций) существует предел:
lim (Ф(<), %ft, е" = И(r) / Ф(№{t, е) = Ф(т).
е -" +0 е -" +0 ^
196
Отсюда вытекает, что в пространстве обобщенных функций медленного
роста S' совокупность функций е) при г -* +0
сходится к дельта-функции Дирака:
lim е) = д(т - t), I G Z.
г -" +0
Тогда, выполняя предельный переход при е -* +0 в (4.118), приходим
опять к результату (4.115):
+ 00
lim /^(т, е) = жВ* f Ф^, 0)<5(т - t) dt = жВ*Ф?т, 0). ? -* +0
б. Критический случай, х = а$. Здесь интеграл /^(т, е) имеет
по-прежнему вид (4.112). Остаются в силе также соотношения (4.111)
и (4.113) для функций %.(t), где необходимо положить
v(r) = 1 /г/ (см. рис. 4.9). При этом производная функции (t) в
точке t = х обращается в нуль (?j(t) = 0), что нарушает условия
теоремы о существовании обратной к ^(t) функции аДг) в
окрест- ности t = х. Функция <py(t,e) в (4.115) не является
непрерывной в точке (г, 0), и утверждение 4.3 становится не
справедливым.
Для функции а0(е) и а^е), являющихся обратными к %Q(t) и ?2(0>
остаются справедливыми разложения (4.114) при а2 - 1 !ц'.
"00 вао2вт' "01 = агх = -п1Ъ
з- з- /,Л (4.119)
%г = а2 а22 = -Ч а2
Учитывая формулы (4.111), (4.113) и то, что |х(т) = 0, представим
функцию е = в окрестности точки t = г в виде двух ветвей:
<5 = ±?j(0> '?j(0 = Vi^O, <3 = уГе. (4.120)
Тоща для функции ?х(9 справедливо разложение при t ¦* т:
?i(0 = Sio + Мт -*) + <Кх~ о. Sio = °>
, " V121/2, (4.121)
. • it(0 1 ^(T)
C.. = - urn c.(f) = - lim = - orlim ------------= -г-.
f-,2gi(0 2"H.,gl(<). ¦ ^ii
Здесь знак коэффициента выбран так, что tfi) < 0.
197
Таким образом, функции д - ^(<) и S = - ?j(f) определены правой и
левой полуокрестностях точки t = г (рис. 4.10). П{
Рис. 4.10. Функции t = /Jj ^{6), обратные к s=i = ?j(f)
(критический
случай) I
этом существуют обратные к ним функции /^(<5), /?3(<5) Si
есЧ-Л,,*,] (",=^7). для которых справедливы соотношения!
^)=Р,(-"5). №)<*<№) (<5>0),
(4.122)
^10 = т- = Hm 0 '(a) = lim -±-
о -* 0 f -* х Ц (t)
_1_
5|1
= -л/Х
V IflLl •
С учетом полученных результатов представим интеграл | Л°(т,?) в
