Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
Учитывая правило дифференцирования степенной функции, получаем, что для
любого IG R функцию yfjt, е) можно
доопределить на кривой t - а(е) так, что е) € C(U).
191
Доказанные утверждения позволяют выполнить предельный переход при г -*
+0 в интеграле (4.100).
Утверждение 4.2. Пусть h(t), a2(t) G С^О, т], a2(t) > 0.
Тогда для интеграла /р(т, е) в (4.100) справедливо следующее
разложение при т > <2:
/Дт, е) =
= 1 /
Л J
а(т) + aJt)
--------------+ о(1) (е 0),
Vat2 - ri2[a2(T) + a2(t)]2
а20 ~ а2^' W.105)
Доказательство. Заметим, что формулы (4.101) приводят к непрерывности
функции а2(е), обратной к 12(0- Утверждение
4.1 и следствие 4.1.1 позволяют получить, что Ф^, е) G C(V). Далее в
интеграле (4.100) сделаем замену:
t(y) - а2у, t(0) = 0, <(1) = а2. (4.106)
При этом область V взаимнооднозначно отображается на область VQ = [0,
1] х [-?j, ?j] в плоскости (у, е), и для интеграла
f(r, е) из (4.100) и (4.106) получаем
1 W/y е)
if (г, е) = / dy, W/y, е) = V"2(e) Ф{ау, с). (4.107)
о VI - у
Очевидно, что Ч'Ду, е) €= С(^0). Следовательно, Ч'Ду, е) равномерно
непрерывна на FQ, и Ч^у, е) стремится к W;(y, 0) =
а20^' ПРИ ? 0 равномерно по у на отрезке [0, 1].
Кроме того Ч^у, е) равномерно ограничена на множестве FQ.
Учитывая, что сходятся при Ч^ = const, из соответствующих теорем о
предельном переходе под знаком интеграла [195] делаем
вывод, что существует lim А^(т, е) и справедливо равенство:
? -" 0
,Л Ф/Ко?' °У}^*20
4°(T" ") = / - Ж ~ dy + о(1) (е 0), (4.108)
о Vy- 1 Л20 = а2^'
192
Из формул (4.100), найдем при е ¦* 0:
г - t ^ Лч (а20 ~ 9*1
0) = а(т) + a(ty 0) = Д< - г/[а(т) + а(*)] '
ff
0) = Д/ + 71й(т) + а(01'
Ф^0) = ^[а(т) + 1(о] ^
а2о"*
Af2 - г/2[а(т) + а(<)]
2 '
Подставляя последние выражения в (4.108) и выполняя замену переменной
интегрирования t = а2^у, приходим к требуемому
утверждению (4.105).
В заключение отметим, что, как следует из (4.100), верхний предел
интегрирования в (4.105) определяется из уравнения
о2(т) + а2(а2о) = (г - a20)/rj. (4.109)
При % = <2 уравнение (4.109) имеет тривиальное решение а 2д * 0, и
интеграл в (4.105) равен нулю.
§ 4.8. Интеграл второго типа
Интеграл второго типа определяется соотношениями (4.99), где
подынтегральная функция f^(t) имеет вид
/^(0 = [- <4Л10)
%(*> с) = е-^о(0г ?о(0 = Ай, ?"(""(")) = е"
S\(t,e) = ?%(/)-г] [г-^(01,
",0) = 1о(0 - Af/* |2(f) = |0(<) + Д^.
Полагая, что с2(т) е С2(0, т], для функций |f(f) (i = 0, 1, 2) имеем
следующие разложения:
Щ - ?'(т)(т - 0 + -02 + о[(г - О2}
(t т - 0),
|.(т)*0, |.(т) = -й2(г), ?0(т) = -"(г), (4.111)
ij(T) = -v(r) + l/jj, i2(T) = -Цт) - 1/"?.
7 А.Г.Горшков, Д.В.Тарлаковский
193
Так как пределы интегрирования в (4.99) зависят от ве т, то анализ
интеграла второго типа необходимо провод раздельно на различных временных
интервалах.
а. Сверхзвуковой случай, 0 < т < <а^. Здесь согласно (4.5 пределы
интегрирования следующие (е > 0):
в2(е)
4°(т>е) = / dt (е > °)' ",(")
(4.115
а для функций ?.(*) дополнительно имеем (v(t) > 1/* а2(т) > т[г)):
?"">) = а2(т)> V*) < °" = а2^ ~ х1т1 > °" ^(0 < °>
(4.11;
12(0) = а2(т) + т/т? > 0, ?2(0<0, 1,(0 > о (1 = 0, 1,2). Графики
зависимостей %.(t) с учетом соотношений (4.111) (4.112), а также область
определения V интеграла А^(т, щ
L
приведены на рис. 4.9. Из формул (4.111) и (4.112) следует,
Рис. 4.9. Область определения V интеграла второго типа /^(т, е)
(сверхзвуковой случай)
для функций ?.(t) на отрезке [0, т] существуют обратные функции а (/).
Для последних с учетом (4.111) можно получить следующие разложения (а2 *
0, а2 * 1 /ц):
",(?) = "Л + "Iе + аав2 + о(г2) (е - +0),
194
"ю = r о = О, 1, 2), "01 = l/i0(T) = -1/v,
"02 = = -a2/(2V3), ап = 9/(1 - *t/), (4.114)
а12 = а21 = + а22 = -vtyW + Wf)'
Из рис. 4.9 и формул (4.111) - (4.114) видно, что отрезок
интегрирования в (4.112) при е -* +0 стягивается в точку, так
как aj(0) = "2(0) = т. Подынтегральная функция f^(i) имеет сингулярную
особенность в точке t = aQ(e) (aQ(0) = т) и интегрируемые особенности на
концах отрезка интегрирования t = и t = аг Отсюда следует, что нельзя
непосредственно использовать
классические теоремы о предельных переходах для интегралов, зависящих от
