Динамические контактные задачи с подвижными границами - Горшков А.Г.
ISBN 5-02-014700-1
Скачать (прямая ссылка):
1)1};
при Vq = 1
2V0r
/>0(*,Г) = -==Я(т- 1*1). 0 лУт2 - *Т
(4.72)
Асимптотический анализ давления р0(*, г) в окрестности
границы области контакта, аналогичный проведенному в § 4.3, показывает,
что щ. сверхзвуковом режиме (vQ > 1) давление на
прямых *.(т) = 0 непрерывно, а при 0 < vQ < 1 характер
особенностей сохраняется (aQ > 0):
при 0 < vQ < 1
V v 0 0
л
in i*.i + 0(1) (Xj'* 0);
P0(x,r) = -
nPU Vq = 1
v0<2x
PQ(X, г) = -- + 0(1) (*. -> +0).
ЛУХ.
I
(4.73)
(4.74)
179
Те же результаты могут быть получены непосредственно из формул (4464)
и (4.65) при rj -* оо. Отметим, что в случае клина без среза (aQ = 0)
главный член асимптотического представления
контактного давления, полученного при ?;-*<" из (4.66), совпадает с
точной формулой (4.72).
На прямых Xq. = 0, как следует из (4.68), (4.69), (4.71) и
(4.72), в отличие от упругой среды давление р0(х, г) непрерывно.
Вывод об ограниченности давления в окрестности прямой xQ. = 0 может быть
получен непосредственно из асимптотических
формул (4.62) и (4.63) с помощью предельного перехода при
TJ -* оа.
При фиксированной области контакта (vQ = 0), как вытекает из (4.70),
на границах х. = xQ. = 0 давление в отличие от напряжения в упругой среде
непрерывно и имеет вид
Р0(х, г)
01
1 1 Vr2 - 4 а
.2
(4.75)
2~-Я( r-2a0)arctg-
Ограниченность давления в окрестности границы в этом случае также
следует из (4.67) при "/-"<".
Отметим, что в случае фиксированной области контакта достаточно
простой вид приобретает формула для давления в центральной точке х = 0:
[ 2 Vt2 - а2
Р0(°>г) = F0 ~ лЯ(Т" Varctg-
§ 4.5. Контактные напряжения в случае выпуклого ударника
Интегральное представление (4.15) позволяет вычислить контактные
напряжения в случае расширяющейся области контакта Q в любой точке.
Очевидно, характер изменения напряжений зависит как от скорости А(т)
погружения ударника, так и от закона расширения а2(г) области контакта.
Последний для плоской
задачи о вертикальном ударе, как вытекает из (3.136), связан с функцией
/(Уу), определяющей формулу поверхности П0, ограничивающей ударник
(3.125).
Некоторую информацию о характере изменения контактных напряжений
можно почерпнуть из решения частной задачи для клина, рассмотренной в §
4.3. Определяющими параметрами граничной поверхности П0 в этом случае
следует считать наличие
угловой точки (негладкость функции Д^)) и нулевую кривизну боковых граней
клина (а = 0).
180
Для оценки влияния на контактные напряжения кривизны граничной
поверхности П0 рассмотрим далее гладкие выпуклые в
окрестности центральной точки ^ = 0 ударники. Как показано
в § 3.6, функция /(у1) должна быть четной и обеспечивать в
начальный момент времени т = 0 как минимум условие касания первого
порядка поверхности П0 и плоскости полупространства
х3 = 0 (см. (3.136) и (3.140):
Дх,) е С1 (Я), х, = у,, f(~yx) = Аух), ДО) = ит,
•ОД) = <0 (у, * 0), /(0) = 0, (4.77)
а2(0) = а0 = 0, /1(0) = 0,
где /"(V, )-односторонние производные порядка к от функции /.
Выясним, каким условиям должны удовлетворять геометрические и
кинематические параметры ударника для обеспечения сверхзвуковой скорости
расширения области контакта на некотором начальном этапе взаимодействия.
Для упомянутой скорости из (3.136) имеем (см. также (3.141)):
v(j) = о2(т) = -h(T)/f'(a2). (4.78)
При ненулевой начальной скорости ударника (А(0) = VQ3 * * 0) из
(4.78) найдем
v = lim v(t) - +оо, т-" +0
(4.79)
*00 = + 0^))> = V1 + (T ^ +°)-
И, следовательно, на некотором начальном этапе взаимодействия v(z) > 1.
При V03 = 0 необходим более детальный анализ. Во-первых, из уравнения
движения ударника (3.142) получим
Л(г) = ~h(Q)r\l + о(1)).
h(r) = А(0)т(1 + о(1)) (т - +0), (4.80)
4°) = *e3(0)/"-
Во-вторых, положим, что гладкость и выпуклость поверхности П0
гарантирует в начальный момент времени т = 0 касание
порядка п > 1 с границей х3 = 0 полупространства:
181
f(xx) G C"(Q), /*>(0) = 0 (1 < к < и), /+я+1)(0) = (_!)"+1/_л+1)(0) = -
Ап < 0,
(4.*:
Я*i) - Л°) (" + 1)1 Xl+1 + °(JC1+1) (*! ^ +0)- I
$
Подобными поверхностями, например, являются алгебра^ ческие
поверхности второго порядка (п = 1), рассмотренные | § 3.6, а также
цилиндры с направляющей в виде кубической) параболы (п = 2),
использованные в статье [113]. J
