Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Для нахождения метрического тензора во вращающихся координатах Ферми можно воспользоваться уравнением девиации геодезических. При этом метрический тензор выражается инвариантным образом через тензор кривизны, вектор первой нормали базисной линии (ускорение наблюдателя ИР(а)(2.88)) и вектор угловой скорости Q(a) (2.87). Так, в [81] с точностью до членов первого порядка малости но тензору кривизны получено выражение для метрического тензора в невращающихся коор-
95 динатах Ферми для произвольного движения наблюдателя. Используя его, из соотношений (2.84) и (2.89) находим искомые компоненты метрического тензора во вращающихся координатах Ферми:
б) gn = c-lK"(6We)+bmJ +
+ Un+O+^/Wi+O,, (4.21
в) ?44= —С +?)2 + 2(1 +Шспн,+
где использованы следующие обозначения:
(1.3)
K2 = V'; (4.4)
t = c-2W{^«\ (4.5)
6(0 0,=3(0?-Kap-a) OSiihiwJda+ 0,: (4.6)
О
Op
U </>= 4- (G")_ Vм Vv) 5 Kap - a)2 S(„ (/, ,„, „ ,1 da + Q.,, (4.7)
O
S(i)(j)(m)(n) — тетрадные компоненты симметризованного тензора кривизны
Sijbl=--J-(Riki, + Rml (4.8)
введенного Сингом [81]. Тетрады /г(„0', необходимые для вычисления этих компонент, строятся путем параллельного переноса тетрады Zzur01, определенной на базисной линии, вдоль пространственноподобных геодезических, принадлежащих гиперповерхности /. Вдоль этих геодезических вычисляются также и интегралы в соотношениях (4.6) и (4.7). Отброшенные в формулах (4.2)—(4.7) квадратичные по тензору кривизны члены обозначаются посредством О2.
Вращающиеся координаты Ферми (4.1) можно также выразить и через производные мировой функции Q (Pu Рч\ введенной Сингом [81]:
y(a)=-/i(a,<'Q.((Pi, P2); (4.9)
0 у
a (P1, P2)= а (X,. X2) =-L(CT2-O1)J iLrfn. (4.10)
01
96 Здесь х\ и х'<2 — координаты двух пространственно-временных точек Pі и ?2, через которые проведена геодезическая Jt' = Xі (а) (предполагается, что она единственная); Gi и G2 — значения канонического параметра о в точках Pi и P2. Отметим, что индексы, заключенные в скобки, являются тетрадными (их поднятие и опускание осуществляется с помощью тензора Минковского т|(0(/)), а индексы, помеченные черточкой,— координатными, относящимися к вращающимся координатам Ферми (их поднятие и опускание осуществляется метрическим тензором g--). Однако поскольку вращающиеся координаты Ферми задаются инвариантным образом (4.1), то зачастую не лишены смысла и выражения, в которых суммирование происходит по повторяющимся индексам разных типов, например Ti^, или равенства, в которых не выполняется «индексный баланс», например (4.2).
§ 4.2. Явный вид оператора Гамильтона
Для описания квантовомеханических явлений во внешнем гравитационном поле наиболее удобной представляется система отсчета одиночного наблюдателя, в особенности если ее выбрать сопутствующей. В этом случае координаты у{а) пратически всегда принимают малые значения и, таким образом, 1. Поэтому в формулах (4.2) можно пренебречь как квадратичными по так и перекрестными (произведениями ? с f{m){n) и Ь{т){п) членами, а метрический тензор (4.2) представить в виде
SiJ=tJ(OO)+ ®<0</>' (4Л1)
где є(0(/) непосредственно определяется из формул (4.2):
а) е(а)(х)=^(а)(х)'
б) є(а)(4)^(а)^-%а)+в(а), (4.12)
в) р(4){4=є=-2(^ + 6);
e<.>ef(.>(4)+fc<«>< (4ЛЗ)
в- -(^4)(4)+4-W)). (4-14)
Из соотношений (4.2)-(4.14) следует, что величины /С(а) и ? описывают вращение и ускорение системы отсчета соответственно, а в и в(а)—собственно гравитационное
7. Зак 6718
97 поле (кривизну пространства-времени). Так как реальные квантовомеханические системы имеют малые размеры, то є(/)(/)«С 1 даже для очень сильных с макроскопической точки зрения полей. Поэтому в дальнейшем ограничимся линейным приближением по є(<)(/).
Для нахождения оператора Гамильтона в системе отсчета одиночного наблюдателя воспользуемся общими выражениями, полученными в главах 2 и 3. Так, уравнение движения для вектора состояния \XY> в координатном представлении имеет вид
а
от
где дифференциальный оператор /?, отождествленный с дифференциальным оператором (D)#, задается выражением (3.49)
<°>Я= (4.15)
Очевидно, что последнее выражение справедливо только в сопутствующей системе координат, в которой уравнение гиперповерхностей /(т) имеет вид jc4 = Const. Сам же оператор (D)# не зависит от выбора системы координат (ср. (3.40), (3.41)). Однако этот оператор существенно зависит от выбора у-матриц и, как было показано в главе 2, не является оператором Гамильтона в координатном представлении. Так, например, если уматрицы выбрать в виде
Y* — У (a) H 2~" ^(а) (х) / 1 \ о ... (416)
что соответствует самому простому представлению (см. § 3.4), то оператор {0)Н имеет следующую форму:
+ mc>( 1-J^?--?-{^, ^,,-J-Ai,))-
-fa«" а „-) --?-а(0){е<"><"> (^(х)--?-Л(х))}, (4.17)
98 где „ „
Q = e(°W «<о = YmiYw:
Aw-Am=A^ V=-eAf. Если же y-матрицы выбрать иначе, например так*>:
7,-=(^+4-^,,)7,,, (4.18)
то для оператора {D)H получим уже иное выражение:
- 4-(^,(^--н,,)}+
