Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
В большинстве случаев для нахождения оператора Гамильтона достаточно знать лишь вектор 4-скорости «наблюдателя».
102 только) для физических систем, обладающих малыми размерами, то из формул (4.2)—(4.14) следует, что даже очень сильные с макроскопической точки зрения поля удовлетворяют этому условию.
§ 4.3. Двухкомпонентное приближение
Для оценки влияния внешнего гравитационного поля, ускорения и угловой скорости системы отсчета, а также для физической интерпретации входящих в теорию Дирака операторов удобно перейти к двухкомпонентному представлению, позволяющему выделить одночастичные состояния. Задача выделения одночастичных состояний для свободного электрона решается точно [95] (см. также [61, 96]). Во внешнем поле она допускает лишь приближенно е решение**. В работах [99, 100], следуя идеям Ч. Дарвина, предложен операторный метод, позволяющий получать двухкомпонентное приближение уравнения Дирака в виде ряда по обратным степеням скорости света и допускающий непосредственное обобщение на случай внешнего гравитационного поля [101].
Переход к двухкомпонентному представлению наиболее прост в координатном представлении с ортонорми-рованными базисными векторами. В этом случае операторы а,х), ?, ji^ и q{a) представляются эрмитовыми матрицами и дифференциальными операторами:
ам = аы)> ? = ?>
S1X)- S(X)= P(X)=^f (*)
найденными при учете G = D = I из соотношений (3.74) —(3.82). В этом представлении условие нормировки и уравнение движения для вектора состояния I1F^ имеют также наиболее простой вид
<ЧГ|Ч'> =^F+ 4^=1, (4.29)
где в соответствии с (3.42), (4.20) и (4.28)
Интересный подход к точному представлению общековариант-ного уравнения Дирака в виде обобщенного уравнения Паули предложен в работах (97, 98].
(4.28)
<Vx)'
103 X = H = -§-а<">{(1 +С + 0), (*¦<„>- +An)} + + V4- тс\ 1 + Є) ? + m? Wi^- со<x\L(x)+Sw)-
Для перехода к двухкомпонентному представлению более удобным оказывается не стандартное представление для y-матриц (см. гл. 1), используемое на протяжении всей книги, а представление, отличающееся от него на постоянное унитарное преобразование
і Ї)-
После такого преобразования уравнение (4.29) сохраняет свою форму
Ih-^-=HxVy
ОТ
где W = DxV; H = D HD+. Отделяя с помощью подстановки 4* = 4Vxp(--jf тс2т)
энергию покоя тс2у получаем при учете явного вида оператора H систему уравнений для двухкомпонентных функций *(*-(;))=
а) Ty=cN%-\- (1+ —2тс2) ср,
б) 7х = сМр + /_х, (4 30)
эквивалентную исходному уравнению движения (4.29). Здесь введены эрмитовы операторы
"--^[k1--t')' h-,))-
-4-{ewW, (^(1)--?-Л(х))}]. (4.31)
+ (4-32)
104 U = V + cL-± тс2г, (4.33) а также использовано обозначение
T = ik4~- (4.34)
От
Из уравнения (4.30, а) находим
Ф=ГХ. (4.35)
где
Ъпс
I1 + !^7"-'+)]"1"- (4-36)
Оператор Г можно представить в виде бесконечного ряда по обратным степеням скорости света:
? ^ЛтЬгр-Ц'}»-
л = о
Подставляя (4.36) в (4.30,6), получим уравнение
Tx = (cNT + l_)x, (4.37)
которое, однако, еще нельзя интерпретировать как уравнение движения, так как его правая часть зависит от оператора Т. Исключая этот оператор методом последовательных приближений и используя при этом уравнения (4.35) и (4.37), находим уравнение для «большой» функции
где
н__A^__/V4 _ N[TyN\ ,
П* 2 т 8 mV Am2c2 +
+ -^.(NUN-N'l^+l-+....
Функция х» однако, не может быть нормирована на 1, так как 1 = <= <Ч>|W> = <х| (1 + Г+Г)х> и ее нельзя использовать как волновую функцию (амплитуду вероятности).
Введем новую функцию
Ф = /Сх. (4.39)
105 где оператор К определяется из уравнения /(+/( = / + Г+Г.
Из множества решений этого уравнения выберем такое единственное, когда оператор К эрмитов и допускает разложение по степеням с~2 [100]
Л= I
где ^ — биномиальные коэффициенты. Подставляя (4.39) в (4.38), находим уравнение движения
= (4.40)
для нормируемой на 1 функцию Ф, где Яф= КНХК~1 + + [Г, К]К~1.
Учитывая в последнем выражении явный вид операторов Hv К и выполняя все вычисления с точностью до с~2, получим
и N2 -l- / n* 11 ф= -77— -H---—
8т
2т 1 8т с
^([Ny [(T-/ + ), yv]l + {tf2, (/_ -/+)}) +о (с-4). (4.41)
Таким образом, двухкомпонентный оператор Гамильтона Яф определяется в виде ряда по четным степеням с"2, который сходится, если энергия покоя электрона больше его энергии во внешнем поле. В противном случае из-за возможного рождения пар одночастичные состояния теряют смысл. Подставляя в (4.41) операторы Ny Ly 1± и Ty задаваемые соотношениями (4.31)—(4.34), в линейном приближении по с~2 и е(/)(/) получаем окончательное выражение для оператора Нф\
н•= jFa^2+v+ SF v' *
Am2C
eh e(x)(v)(l)a(t) ?x- +
4 тс
106 є<*><"}-
eh ¦^"а^В^г-гЬ В.л +
~ 1^7 "ил"*»* —° (X)1
(4.42)
eh 8 т'
+ _?.^)Ы(О0(п)а(|а(т))+О( I/O,
где ЙУІ- = ЛТ- У-Лх т.
Уравнение (4.40) можно интерпретировать как уравнение движения
/ft А |ф> = Ж„|Ф> (4,43)
в координатном представлении ? ортонормированными базисными векторами, где в отличие от |lF> вектор состояния |Ф> описывает одночастичные состояния. В этом представлении скалярное произведение имеет вид
