Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Если Y-матрицы выбраны в виде (3.7), то ситуация чрезвычайно проста, так как здесь мы имеем дело с представлением, которому соответствуют ортонормиро-ванные, не зависящие явно от времени (имеется в виду обращение в нуль ковариантной производной) базисные векторы. Таким образом, в этом представлении G = D = 1, U+ U = 0 и Ж =(D)Hy где оператор (D)H задается выражением (3.9). Следовательно, в результате решения уравнения Дирака в системе отсчета S' получим, как
** Для нормировки волновой функции существенную роль играет матрица G (см. § 2.4 и 2.6), которая неявным образом входит в соотношения (3.74)-(3.82).
92 это н должно быть, хорошо известный спектр атома водорода.
Несколько сложнее обстоит дело, если y-матрицы выбраны в виде (3.10). Правда, мы знаем, как надо поступить, чтобы получить «правильное» решение уравнения Дирака. Для этого «плохие» у-матРииы Yr надо дополнительно подвергнуть спинорному преобразованию, соответствующему преобразованию Лоренца (3.6), в результате которого они станут «хорошими», т.е. в точности совпадут с у-матрицами (3.7). Дальнейшее уже очевидно. Но как быть в искривленном пространстве-времени, где все уматрицы одинаково «хорошие» (вернее, одинаково «плохие»)? Вот здесь-то и надо прибегнуть к схеме, развиваемой в этой главе.
Для Y"матриц (3.10) из соотношений (3.24) и (3.25)
находим следующие выражения для матриц G" 1 и G:
«,-'-(!-^-'"(i-^L).
И'--?¦)¦"'('+-^)-
При выводе последнего соотношения мы воспользовались тем, что в соответствии с (3.23) вектор п„, в системе координат {а-'і имеет вид я;и, = {0, 0, 0, 1). Для вычисления матриц Dn и D0 1 найдем вектор Ir. Предварительно убедившись, что Г = 1 п д/yj у.. = 0, а затем воспользовавшись соотношением (3.34), находим
/, = {-(1 -v'/с\ sr2Vjc, -(l-V/cV72!.
Дальнейшие вычисления на основе формул (3.38) и (3.39) приводят к следующим результатам:
Dn = A+i( 1 - v2/c2)-ir2v? ^ /2 Ac, D0 1 = Л - /(1 - V2Jc2)' 1/2 v?w/2Ac,
іде
su=j-ii4, yl = kx*,
A = і - V1Zc2)- 1/211 + (1 - ^А-'-'П}'72.
Так как у-матрицы Дирака уґ и матрицы G и D0 не зависят от времени и координат, то (ср. (2.108), (3.42), (3.43) н (3.69))/і,.= W = tlhH. В то же время матрицы
93 ах и ?, удовлетворяющие соотношениям (3.74)—(3.81), в соответствии с (3.83) и (3.84) имеют вид
^{l^u2/c2y/2]/u2 + ieo^yua/ci
^ = (1 — и2/с2)-,/2(1 —
С помощью последних выражений оператор (3.12) может быть приведен к следующей форме:
& = ^H = сах5\, + тс2Ь- е2/(г')2. (3.87)
Одного взгляда достаточно, чтобы убедиться в том, что (3.87) и (3.9) — это разные представления одного и того же оператора Гамильтона^
Глава 4
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА В СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА
ОДИНОЧНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ
В главе 3, исходя из общековариантного уравнения Дирака, был получен оператор Гамильтона (3.73), который позволяет рассматривать квантовомеха-нические задачи во внешнем гравитационном поле и неинерциальных системах отсчета. Явная форма оператора Гамильтона зависит, однако, от выбора системы отсчета.
В качестве примера, иллюстрирующего развитый в предыдущих главах метод, рассмотрим систему отсчета одиночного наблюдателя, которая, как представляется, очень удобна для описания квантовомеханических систем. Одновременно в этой главе в явной форме будет продемонстрировано, что квантовомеханические уравнения инвариантны относительно координатных и спинорных преобразований.
§ 4.1. Описание системы отсчета
Система отсчета одиночного наблюдателя в рамках монадного формализма, который был положен в основу при построении квантовой механики (см. гл. 2, 3),
Напомним, что величины Jtv, ^5v/, av,, ?, входящие в (3.9), и соответствующие величины, входящие в оператор (3.87), удовлетворяют одним и тем же соотношениям (3.74)-(3.81).
94 задается (см. § 2.5) конгруэнцией мировых линий (2.90) Xі = х'{у(а\ т), определенной в некоторой конечной окрестности вдоль базисной линии (2.83). Здесь т — собственное время наблюдателя, а у{а) — скаляры (2.89), введенные для арифметизации семейства гиперповерхностей f (т). Все последующие вычисления заметно упрощаются, если воспользоваться сопутствующими координатами {Xі} (см. (3.48)):
ха = у{,х\ X4 = CT. (4.1)
В частном случае, когда ?2(а)=0, величины {у{а\ ст) соответствуют введенным Сингом координатам Ферми [81]. Поэтому введенные аналогичным образом координаты будем называть вращающимися координатами Ферми. Попутно отметим, что термин «координаты Ферми» также употребляется для обозначения более широкого класса координат, когда Г/* = 0 вдоль какой-нибудь кривой. Вращающиеся координаты Ферми описывают систему отсчета одиночного наблюдателя в рамках координатного метода, основанного на подгруппе хронометрических преобразований (см. § 2.5). Очевидно, что вращающиеся координаты Ферми — не единственные сопутствующие координаты (все они связаны преобразованиями вида (2.79)), позволяющие в рамках данного формализма описывать эту систему отсчета. Так как все физические величины являются инвариантами или тензорами относительно подгруппы хронометрических преобразований (2.79) (см., например, [36]), то выбор сопутствующих координат никак не влияет на физические результаты. Однако в дальнейшем использование вращающихся координат Ферми {*'} представляется целесообразным, поскольку они соответствуют локальным координатам Минковского (в общем случае вращающимся), переносимым «наблюдателем».
