Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
<Ф|Ф>
J Ф + Ф?/'У
Для нахождения оператора Гамильтона достаточно в дифференциальном операторе Нф произвести следующую замену:
где q{rx\ & (а) — операторы гильбертова пространст-
ва, удовлетворяющие перестановочным соотношениям
to'". ^1I=O1
[^V &(XJ = 0, k<4 ^,J = 0, (4.44)
^1='?,,.......^1". =
107 Соотношения (4.44) формально позволяют называть введенные операторы гильбертова пространства операторами положения, импульса и спина. Это обозначение не должно, однако, приводить к путанице. (В теории Дирака также фигурируют операторы положения, импульса и спина, но они описывают другие физические величины.)
Таким образом, уравнения
б М — о 6 Ф —Cl Il^l-O
которым удовлетворяют введенные операторы, и уравнение (4.43) можно рассматривать как уравнения движения, описывающие динамику квазирелятивистской частицы со спином 1/2 во внешнем гравитационном поле.
В заключение рассмотрим следующую задачу. Пусть Я: — некоторый оператор гильбертова пространства, тогда в соответствии с результатами главы 2 Г—его координатное представление, т.е. некоторый оператор, действующий в пространстве биспиноров. Нужно найти S? ф— двухкомпонентное представление этого оператора. Очевидно, что такого представления в обычном понимании $того слова не существует. Однако для любого оператора 3? можно найти такой оператор что их ожидаемые значения равны
< WIЯЧГ> = <ФI ^фФ> . (4.45)
В соответствии с [100] такой оператор и будем
называть двухкомпонентным ^представлением оператора Я!. Так как в общем случае Z имеет структуру
L-OtO+-( I I).
где а, й, с, a — двухкомпонентные операторы, то уравнение (4.45) можно записать так:
<х|ах + ?ф> + «p\h + a<p> = <Ф\&фФ> .
Воспользовавшись соотношениями (4.35) и (4.39), при учете эрмитовости оператора К окончательно получим
Г^/ГЧа + бГ + Г + с+Г+аПК-' (4 46)
Из последнего соотношения следует, что в общем случае (л/л/ф и что двухкомпонентное представление оператора Гамильтона (^)ф не совпадает с оператором ^f ф. 108 Глава 5
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА
Вопросы построения квантовой механики в неиндрциальных системах отсчета, а также ее приложений рассматривались в работах [11, 12, 59, 63, 102— 105]. В частности, в работах [11, 12, 102] с помощью разложения общековариантного уравнения Дирака до членов с" 1 найден оператор Гамильтона для вращающейся системы отсчета. В [63] это разложение обобщено на произвольные неинерциальные системы отсчета. В таком приближении в операторе Гамильтона содержатся члены, соответствующие силе Кориолиса, что позволяет объяснить [63, 11, 12, 102] «вращательный эффект Джозефсона» [13]. Однако в операторе Гамильтона [63] отсутствует очевидный с точки зрения классической механики член rnq-W (см. (5.26)). Дальнейшие исследования [59, 103—105] показали, что линейного приближения по с-1 недостаточно для его получения.
§ 5.1. Нерелятивистская квантовая механика в неинерциальных системах отсчета
Основные уравнения. Ограничимся системами отсчета, относительные скорости которых малы по сравнению со скоростью света. Физическое 3-мерное пространство в каждой системе отсчета с хорошей точностью можно считать плоским, т.е. пользоваться ньютоновскими понятиями абсолютных пространства и времени. Такой подход соответствует обычной формулировке классической нерелятивистской механики в неинерциальных системах отсчета и не нарушает общепринятой схемы нерелятивистской квантовой механики, в которой время играет роль внешнего параметра, а усредненные значения эрмитова оператора положения соответствуют декартовым координатам ожидаемого положения частицы.
При формулировке квантовой механики в неинерциальных системах отсчета как необходимое условие будем рассматривать выполнение принципа соответствия с классической механикой. Уравнениям классической механики
109 можно придать одну и ту же форму во всех системах отсчета, если ввести фиктивные силы (Кориолиса и центробежные). Из принципа соответствия тогда следует, что квантовая механика во всех системах отсчета также должна допускать одинаковую формулировку, т. е. во всех системах отсчета должны быть справедливы уравнения движения (2.46), в которых, разумеется, параметр X должен быть заменен на ньютоновское абсолютное время /:
Физическое же различие систем отсчета учитывается в операторе Гамильтона, содержащем квантовомеханичес-кие аналоги фиктивных сил*).
В дальнейшем для простоты будем рассматривать квантовомеханические системы, состоящие из одной частицы со спином 1/2.
Для квантовомеханического описания физических процессов каждой точке физического 3-мерного пространства поставим в соответствие два вектора гильбертова пространства = | | | , которые явля-
ются собственными векторами эрмитова оператора положения qa(q+ = qa): qa\u?> =JtaIu')> . Собственные значения ха двукратно вырождены (А пробегает значения от 1 до 2, так как релятивистская спиновая частица имеет две внутренние степени свободы) и совпадают с декартовыми координатами этих точек (ср. § 2.6). Если наряду с оператором положения ввести эрмитовы операторы импульса и спина ^a, то из них может быть построен любой физический оператор Я = = ^(qa , S^a )• Так как 3-мерное физическое пространство однородно и изотропно, то операторы qa, и S^a удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям (4.44):
