Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
jfV = І )2 + Ф (Qa) + m Wa Qa - QxDx. (5.22)
Применение метода сопутствующих операторов. В инерциальной системе отсчета 2 введем сопутствующие системе отсчета 2' операторы
qa = qa-RaI, ^a==Z9* — mRa /, ^a =^a, (5.23)
где <7a, ^a и — операторы положения, импульса
и спина в системе отсчета 2. Соответствующие операторы в системе отсчета 2' будем обозначать, как и прежде, посредством qa, и S^a . Все эти операторы, очевидно, удовлетворяют перестановочным соотношениям (5.2). Учитывая явную независимость операторов qaJ ^a , от времени и уравнение (5.1,6), получим
Qa = UnqaU+= Wqx, Pa = U0STa U+=La*&x, Sa = U0PaU+= La* Px,
117 В соответствии с (5.14) выразим оператор Гамильтона (5.16) через сопутствующие операторы (5.23):
& = ^T ? + ^a R« + -f - RaRaI + ф(?а ),
где ф(<7в) = ф(0-
Далее, перейдем к Л-картине, в которой сопутствующие Операторы не зависят от времени. Связность Гл, определяющую эту картину, найдем из системы уравнений (5.10), которая в данном случае принимает вид
[Г*, qAJ=-RJ, [ГА, &Aa}=-mRJ, [Г\ =
а ее общее решение
TA= - J-^At-mtqa + g(t)I).
Действительная функция g(t) может быть выбрана произвольно. В дальнейшем положим g = — m/2(Ra)2, что обеспечивает явную независимость от времени оператора Гамильтона для консервативных систем. Тогда в соответствии с (5.12) получим
П (qi, O=^r + mW*q& + ф (qA).
т.е. для оператора Гамильтона в ускоренной системе отсчета S' при учете (5.15) следует выражение (5.21), полученное методом унитарных преобразований.
Перейдем от системы отсчета S' к системе отсчета 2". Для этого в системе отсчета S' введем сопутствующие операторы
Qa=LaX = Sa=UyiFx. (5-24)
Так как введенные в системе отсчета S' операторы qa, и не зависят явно от времени, то соотноше-
ния (5.10) и (5.24) приводят при учете (П. 9) к уравнениям
[Гл, Р1\ = еа„&Рял, [ГЛ ??] = <?„„ Q^,
из которых получаем следующее выражение для аффинной связности в Л-картине:
Г A = Jfr^ea-QA PAQtO _ ^A Q^ (5 25)
118 Тогда, обозначая операторы, введенные в системе отсчета X", как и прежде, посредством Qa, Pa и Sa и используя формулы (5.15), (5.21), (5.24) и (5.25), получим следующее выражение для оператора Гамильтона в движущейся произвольным образом жесткой системе отсчета X":
= +(q^ + т wQ«- "a(s«+j^)' (5-26)
совпадающее с (5.22), полученным методом унитарных преобразований.
Обобщенная теорема Эренфеста. Из физических соображений очевидно, что квантовомеханические уравнения после перехода к ожидаемым значениям должны переходить в соответствующие уравнения классической механики. В этой связи исследуем соответствие полученных здесь соотношений с классической механикой в неинерциальных системах отсчета.
Ожидаемые значения оператора положения отождествим с классическими координатами частицы. Тогда, используя векторную запись, получим г = = < llrv-| Q1IfVo . В соответствии с (2.50) для вектора скорости и находим
V ^dTfdt= <4VI$4V> . Далее, из (2.49), (5.3) и (5.26) следует:
UiQ =
- т (Q X Q) X Q + rnQ X Q. (5.27)
Очевидно, после вычисления ожидаемых значений эти уравнения переходят в известные уравнения классической механики (ср., например, [108]). Кроме того, ожидаемые значения оператора Гамильтона (5.26) совпадают с классической энергией частицы, определенной в этой системе отсчета. Последнее становится очевидным, если в операторе Гамильтона исключить операторы импульса посредством (5.27):
¦Г. ¦ = ~($)Чт W-- Q + ф(Q) - -f (?2XQf-S- й.
119 § 5.2. Релятивистская квантовая механика в движущейся произвольным образом системе отсчета одиночного наблюдателя (в пространстве Минковского)
Для нахождения оператора Гамильтона в движущейся произвольным образом системе отсчета одиночного наблюдателя воспользуемся результатами глав 2—4. Однако в отличие от главы 4 не будем ограничиваться случаем малого ускорения (?<СІ).
Итак
Xi = Ii(T) (5.28)
— уравнение движения «наблюдателя», задающего систему отсчета (см. § 2.5). Сопутствующую тетраду А(/)' введем', исходя из физических свойств системы отсчета. Так, например, для невращающейся системы отсчета это тетрада А(/)/, задаваемая вдоль базисной линии с помощью переноса Ферми—Уолкера. В общем же случае вращение триады А(а)' должно отражать вращение системы отсчета. Полагая в формулах (4.2) тензор кривизны равным нулю, находим точное выражение для метрического тензора во вращающихся координатах Ферми:
8і І = бі ?. 8i 4 = "Г *<«>• St 4= - [(1 + O2 - -?],
gib = 6(«)(w_ Jj^i+ у-^.JtfMi
с (5 29)
гДе К(а) и ? определены так же, как и в главе 4 ((4.3) и (4.5)). Для упрощения последующих выкладок выберем Y-матрицы согласно условию (3.54) в виде
Ya = Y«a). Y4-= (1 + Q YO) + "7" (5-30)
Используя формулы главы 3, можно показать, что такой выбор у-матриц соответствует самому простому представлению— представлению с ортонормированными базисными векторами, не зависящими явно от времени (имеется в виду обращение в нуль ковариантной производной базисных векторов), так как G = D=I и, кроме того,
