Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Вопросы, связанные с определением энергии как гравитационного. пік її негравитациоппых нолей в рамках ОТО, подробно раз-бирлюїся в монографиях [36, 72|.
85 Ъп.т + Ът:я = 0, то в силу уравнений движения Г'.—О
величина ^Ti1Qdfj будет сохраняться: I
^PVdfi = O. f
Покажем, что найденное в § 3.3 выражение для оператора Гамильтона не противоречит требованию (3.56).
С этой целью запишем левую часть выражения (3.56) в координатном представлении, учитывая при этом соотношения (2.95) и (3.19):
= ф W^d3 у =^WeJ^Wъу. (3.57) f I
Здесь в соответствии с (2.56) использовано обозначение
= (3.58)
где G~1 и Ж определяются из (3.24) и (3.42) соответственно. Для упрощения дальнейших вычислений введем следующие обозначения (ср. § 2.7):
^аН^* -с-^ну, (3.59)
+ -Tb^ {Р&~ -г(3.60) где в соответствии с (2.98), (2.102), (2.107), (3.42) и (3.43) Bt=D + dlhD-i = {Bi -4-z}; (3.61)
(3.62)
Величину P^ можно интерпретировать как оператор 4-импульса в координатном представлении. Действительно, оператор импульса был определен в § 2.7, исходя из оператора бесконечно малых трансляций вдоль гиперповерхностей I(X). Аналогично, оператор Гамильтона можно получить, рассмотрев оператор инфинитезималь-ных трансляций во времени. Введение оператора рA позволяет уравнениям (2.66) и (2.109) придать единую форму:
a) Pl=Pfixy б) ^^+Аоа.О-1 (3.63) (однако |в то время как {D)H+ Ф{0)Н).
86 Так как стоящие в обеих частях уравнения (3.56) выражения инвариантны относительно координатных и спинорных преобразований, то, не нарушая общности, все вычисления можно провести в какой-нибудь одной системе координат. Воспользовавшись этим для упрощения выкладок, выберем систему координат (У) согласно условию (3.48). Тогда ?'=(0, 0, 0, 1), а для вектора пт и матриц G и G-1 будут справедливы соотношения (3.50) и (3.51). Операторы Гп переходят в ^m. Сохраняя обозначения, введенные в § 3.4, и используя соотношения (3.58)-(3.63), а также учитывая, что биспиноры W удовлетворяют уравнению Дирака (3.40), найдем
[IiTMfi= 4 J Т№\ (3.64)
X =Const
где
T14fIi= - Ч'Ф[(^4 + &3 + І (G?Y4rtf>,- + + PfGni?Y4) + яGP ({Y4, га + (їй Г4}) п' ] V. (3.65)
Из эрмитовости оператора Гамильтона (Ж® =??)y а также соотношений (3.41), (3.60) и (3.61) следует
&A + &* = 2pA-ih[G(G-l\A-2D0(U + Ut4)Do-1].
Используя это соотношение, после простых, но громоздких вычислений выражение (3.65) можно привести к окончательному виду
-2Dn{Dol).A-2Do(U+U.t) D„-')+G(G-,).mG?v4rtm-- irB^O -MS4 ^a } + -f (5 44, ^4) +
+ Gp(IY4lT1Hir4lY1))"''] (3.66)
Сравнивая (3.57), (3.60), (3.64) и (3.66), находим, что соотношение (3.56) будет выполняться в случае, если выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части равенства (3.66), обращается в нуль. Из этого условия находим
(J+ U=--J-Oo"1 [-г- Go~l--DoDo"1 +
4L і і
+-г (1 +} —г ^4'(D) я> "
-eG. m?Y4пт + cG? ((Y4, Г,) + {Г4, у/)) л'] Do. (3 б7)
87 Очевидно, что выражение (3.67) непротиворечиво только в том случае, если U+U— антиэрмитова матрица, не содержащая операторов ^a .
В справедливости первого утверждения можно убедиться с помощью непосредственного вычисления, используя при этом явные выражения для матриц D0 и Do оператора (D)# и свойства у-матриц. Для доказательства второго утверждения выпишем члены, содержащие оператор ^a-
(Записывая последнее выражение, мы учли явный вид оператора (3.49).) После выполнения необходимых преобразований найдем
откуда видно, что в правой части выражения (3.67) действительно не содержится никаких дифференциальных операторов.
Итак, с помощью соотношения (3.56) антиэрмитова матрица U+U в общём случае может быть однозначно выражена через у-матрицы Дирака и компоненты векторов Im и пт.
В заключение приведем явные выражения для матрицы U+U в следующих частных случаях: а) если y4 = Ay(4), то
б) если ga4 = 0 (невращающаяся система отсчета (см. § 2.5)), то
4. a
U+U = —|-y4{Y4, Г4|;
(3.68)
-U + U = Oo-1 [-L.у*(y4i г,}_ Do (Do 1 )•+ + -"-GG-'] D0; в) если ga4 = 0, y4 = Av'4', то
(3.69)
(3.70)
88 § 3.6. Общая схема и граничные условия
В § 3.1 3.5 было показано, что интерпретация общековарпиитиого уравнения Дирака (3.13) как некоторого координатного представления квантовомехани-ческих уравнении движения (2.4()) не содержит внутренних противоречий и, таким образом, может служить основой дли построения квантовой механики в неинер-ILпальмыX системах отсчета п внешних гравитационных полях.
Итак, пусть имеется некоторая квантовомеханическая система, например атом, пометенная во внешнее гравитационное иоле. Для ее теоретического описания прежде всего следует определить (в соответствии с выбором системы отсчета) семейство гиперповерхностей /(л) (см. § 2.3) и записать уравнения движения (2.46):
а) =-4" W> .
о/. Il
гх (а?\ (З-71)
которые в координатном представлении имеют вид
a) ___б) = (Щ
' bh h * ' 6к \ OkJ OX
Затем вектор состояния в координатном представлении отождествляем с биспинором vIf (vIf = vT*), входящим в общековариантное уравнение Дирака (3.13), которое, будучи приведено к виду уравнения Шрёдингера (3.40)
