Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Матрицу D0, как и любую другую матрицу размерности 4X4, всегда можно разложить (см. § 1.4) по базисным элементам Yii (1-37) алгебры обобщенных матриц Дирака. Кроме того, если учесть эрмитовость матрицы Do, то решение уравнения (3.35) следует искать в виде
Dn = A+ By + CmnSmny (3.36)
где Ay В и Cmn(Cmn=-Cnm) — пока еще неизвестные коэффициенты. К такой же структуре для матрицы D0 можно прийти и на основании следующих простых рассуждений: матрицу D0 в соответствии с (2.70) и (3.27) можно рассматривать как матрицу специального биспи-
79 норного преобразования, которое в общем случае, как известно, имеет вид (3.36) [36]. Из (3.36) при учете соотношений (1.31), (1.32) и (1.36) находим
Dl = (А-2 + B2+ 2 CmnCmn)+(2 AB-
- IzimnsCimCns) у + (2 A Crs + BCij Biirs) Srs.
Подставив полученное соотношение в уравнение (3.35) и потребовав эрмитовости матрицы Do, получим систему 16 уравнений
-Л" Imttm = A2+ В2 + 2 CmnCmnt
п
2АВ -IzmnklCmnCkt = О, 2 A Crs + BCmn Smnrs = (i/n2) n|r/s)>
A'= A, В'= B, C\s = Crs-4l]rCsiJm, решая которую находим
л=у 1/2/12(Л,/' + /I), г
? = 0, Crs = (i/2n2A)n[rls].
Полученное решение будет единственным, если дополнительно потребовать, чтобы Do= 1 при G= 1. Аналогично может быть найдена и матрица Do""1. Окончательно имеем
D0 = A+ (i/2 А п2) HrIsSrs1 (3.38)
D0-1 = п[А - (i/2An2) nrlsSrs}. (3.39)
Отметим, что общее эрмитово решение уравнения (3.35) отличается от найденного на унитарную матрицу t/o, удовлетворяющую соотношению UoDo=DoUt. Так как общим решением уравнения (3.29) является матрица вида (3.30), а в результате умножения двух унитарных матриц снова получается унитарная матрица, то, не нарушая общности, ограничимся рассмотрением решения (3.38).
Общековариантное уравнение Дирака (3.13) всегда можно представить в виде уравнения Шрёдингера
ih JPL =WfNT, (3.40)
OK
где
^=I6Y = E1V,; (3.41)
80 %1=дя*(у,К)/д\— некоторое векторное поле, в общем случае не ортогональное гиперповерхности f. Т-ак как биспинор 1F, входящий в уравнение Дирака, был отождествлен с вектором состояния в координатном представлении (3.20), то уравнение (3.40) следует рассматривать как уравнение движения для вектора состояния в координатном представлении (2.97, а). Значит, дифференциальный оператор {D) Я, найденный из теории Дирака, совпадает с оператором Я, определенном в § 2.4. Используя соотношение (2.65), связывающее оператор Я с координатным представлением оператора Гамильтона, найдем
X=mH-iKL, (3.42)
где в соответствии с соотношениями (2.98) и (3.30)
2 = D0 (у) Do"1 (у) + Do(y)[U+ (у) U (у)] D0"1 (у). (3.43)
Здесь матрицы Do и Do"1 задаются выражениями (3.38) и (3.39). Алгоритм нахождения матрицы U (вернее, матрицы U+U) будет построен в § 3.5.
Таким образом, для того чтобы найти оператор Гамильтона JS?, надо, исходя из формулы (3.42), получить его координатное представление Ж. Затем выразить Ж через координатные представления операторов положения, импульса и спина. Оператор JSf будет так же зависеть от операторов положения, импульса и спина, как и оператор Ж от их координатных представлений. Очевидно, что оператор Гамильтона Ж не зависит ни от системы координат, ни от выбора у-матриц. Инвариантность оператора Гамильтона относительно координатных и спинор-ных преобразований очевидна, так как уже его координатное представление (3.42) в соответствии с формулами (3.29) и (3.41) инвариантно относительно этих преобразований.
При спинорных преобразованиях изменяется форма оператора Ж. Однако при этом изменяются и координатные представления операторов положения, импульса и спина, причем так, что новое координатное представление оператора Гамильтона X зависит от новых координатных представлений операторов положения, импульса и спина таким же образом, как и до спинорных преобразований. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в главе 4.
6. Зак.6718
81 Биспинор 1F, входящий в общековариантное уравнение Дирака (3.13), был нами отождествлен с ковариантны-ми компонентами вектора состояния \XV> (3.19). Разумеется, он мог быть .также отождествлен и с контра-вариантными компонентами вектора состояния, т. е. вместо (3.19) мы могли бы положить xV = W. В этом случае, повторяя все рассуждения, мы получили бы вместо (3.24) и (3.25) (см. (2.95)) следующие равенства:
G = i$ymnm, G~[ = -~rymnm?. (3.44)
При этом уравнение Дирака (3.13) следовало бы отождествить не с уравнением (2.97), а с уравнением (см. § 2.6) где ковариантная производная в пространстве представлений определена в соответствии с (2,60, б). Таким образом мы получили бы (D)# = /? и
3V = MH + iKZ+ (3.45)
Учитывая, однако, что, как это следует из соотношений (2.53), (2.98), , (2.24), (3.25), (3.29), (3.44), переход W = vP = 1P(^tX) соответствует ф-^ср,
G-+G~\ D-^D"1, 2-^-2 + , получим, что найденный из (3.45) оператор Гамильтона совпадает с оператором Гамильтона, полученным из (3.42). Следовательно, не имеет значения, с каким из представлений (ко- или контра-) уравнений движения (2.46) мы будем отождествлять общековариантное уравнение Дирака (3.13).
