Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Pt=?* (2.H1)
+ (2.112)
lPi.P{] = 0, [p., </']="гб|; (2.113)
^=0,^=0. (2.114)
Глава З
КЦАНТОВОМЕХАНИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ОБЩЕКОВАРИАНТНОГО УРАВНЕНИЯ ДИРАКА
Для квантовомеханического описания электрона во внешнем гравитационном поле наиболее естественно исходить из общековариантного уравнения Дирака, так как «общая ковариантность, по словам Вейнберга, не является обычным принципом симметрии, в отличие от Лоренц-инвариантности, а есть скорее динамический принцип, позволяющий ввести гравитационное поле» [82, с. 128]. Однако общековариантное уравнение Дирака нельзя непосредственно рассматривать как квантовомеханическое. Решению этой задачи, т.е. вопросу о том, как связаны между собой общековариантное уравнение Дирака и традиционная квантовая механика, кратко представленная в главе 2, и посвящена настоящая глава.
69 § 3.1. Инерциальные системы отсчета
Вначале рассмотрим, как же обстоят дела в пространстве Минковского в инерциальных системах отсчета, где в конечной области пространства-времени можно ввести галилеевы координаты. В этом случае уравнение Дирака [22, 23] (современное изложение см., например, в [62])
^Of.*-TF^+ jTxv = O, (3.1)
где Ak — 4-вектор электромагнитного потенциала, т и е — масса покоя и заряд электрона, всегда может быть представлено в виде уравнения Шрёдингера
(3.2)
Ot
Если Y-матрицы выбрать в виде (1.40), то
DH = ca«(px-^Ax)+mc2? + e<p, (3.3)
на .
Р«= 1 V= ~А*'
а„=Ї4І= ( ~0°" І)-
Уравнение (3.2) можно интерпретировать как уравнение движения для вектора состояния в координатном
представлении*), а оператор (D)# — как оператор Гамильтона в этом же представлении. Скалярное произведение двух произвольных векторов гильбертова пространства IxV^ и |Ч/2> в данном случае имеет вид
<V,|^2> "= \ YifVarf3JC. (3.4)
t — ТО П S t
Такая интерпретация позволяет с успехом применять уравнение Дирака для расчета квантовомеханических систем (например, атомов). При этом необходимо выделять одночастичные состояния, что возможно лишь в относительно слабых внешних полях.
В искривленном пространстве-времени ситуация, на первый взгляд, значительно сложнее. Во-первых, уравнения (3.1)—(3.4) надо обобщить так, чтобы они стали ковариантными относительно спинорных и координатных преобразований. Последнее отнюдь не означает, что,
*) См. сноску на с. 64.
70 например, оператор Гамильтона должен иметь одинаковый вид во всех системах отсчета (в дальнейшем всегда будем разграничивать координатные преобразования и переход к другой системе отсчета). Однако при «ковариантизации» уравнений (3.1)—(3.4) возникают трудности, связанные прежде всего с неоднозначностью и неэрмитовостью оператора Гамильтона [17, 83].
Эрмитовость оператора Гамильтона тесно связана с вероятностной интерпретацией квантовой механики (см. гл. 2). Следовательно, неэрмитовость оператора Гамильтона может быть устранена, если соотношение (3.4) обобщить ковариантным образом так, чтобы сохранялась норма вектора состояния. Для этого наиболее естественным представляется исходить из дифференциального закона сохранения для дираковского тока, т. е. рассматривать последний как плотность тока вероятности. В этой главе будет показано, что такая интерпретация дираковского тока позволяет рассматривать общековариантное уравнение Дирака как специальное координатное представление уравнений движения (2.46) традиционной квантовой механики (с эрмитовым оператором Гамильтона). При этом речь идет о координатном представлении с неортонормированными базисными векторами в гильбертовом пространстве, рассмотренном в § 2.4 и 2.6, где, в частности, было показано, что оператор (D)#, входящий в уравнение Шрёдингера (3.2), нельзя более рассматривать как координатное представлене оператора Гамильтона.
Интересно отметить, что указанные трудности имеют место и в плоском пространстве. Как известно, ковариантность уравнения Дирака относительно преобразований Лоренца может быть достигнута двумя путями [84]:
1. уматрицы преобразуются как тензоры у.,= Lrmym, где L/' — коэффициенты общего преобразование Лоренца, биспиноры W — как инварианты (см. [85] )Ч
2. Биспиноры Hr преобразуются (Vr = SHr), а у-мат-рицы инвариантны.
Таким образом, при первом подходе координатные и спинорные преобразования между собой не связываются и формальное применение преобразований Лоренца (т.е.
Подход А. Зоммерфельда к описанию фермионов через совокупность из четырех скаляров получил дальнейшее развитие в работах Н. В. Мицкевича и Ю. Д. Усачева (см., например, [86, 87]).
71 переход в новую инерциальную систему отсчета) приводит к неэрмитову, на первый взгляд, оператору Гамильтона, существенно отличающемуся от выражения (3.3). Второй путь, позволяющий обойти эти трудности, предполагает, что при переходе в новую инерциальную систему отсчета преобразованию Лоренца одновременно с координатами подвергаются и спиноры:
jcW = LVm* xF' = SvF, (3.5)
причем спинорное преобразование выбирается так, чтобы оно компенсировало координатное, т.е. чтобы у-матрицы оставались неизменными: у'т>= Lm,kSykS~~l = Ym- Однако в силу обобщенной теоремы Паули (см. § 1.4) такое спинорное преобразование существует только для изометрических преобразований координат, какими и являются преобразования Лоренца, т. е. второй путь в общем случае не может быть обобщен на произвольные координатные преобразования.
