Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Xi = Ii(T)9 (2.83)
где т — собственное время наблюдателя. Мировую линию (2.83) будем в дальнейшем называть базисной линией. Вдоль базисной линии зададим сопутствующую тетраду himl, определенную в соответствие с уравнением А(4)' = = где u' = dl'/dT — 4-скорость наблюдателя. При
этом, очевидно, выполняются обычные соотношения
U ЧЛ'П) — rjK 1, і Lin) - (M)
п(т\п I—Sb п(т)п '— Ч(Ш)-
Из условия сопутствия тетрада определяется с точностью до 3-мерных вращений. Можно показать [70, 81], что тетрада, задаваемая вдоль базисной линии с помощью
"'Условие существования гиперповерхностей /(X) имеет вид X I, ^ = 0, чго, как нетрудно показать, эквивалентно условию <.>„„, = 0.
59 переноса Ферми — Уолкера (такую тетраду обозначим посредством А(„ґ)'), наилучшим образом описывает невра-щающуюся систему отсчета. Очевидно, что произвольная сопутствующая тетрада А(/)ш, заданная вдоль базисной линии, может быть выражена через невращающуюся тетраду
hwm = hwm = c-'um, Vn0=^Vm. (2-84)
где ?(а)(х) — ортогональная матрица (пространственная часть матрицы L{n){m)\ описывающей локальные преобразования Лоренца)
^(<х)(Х) ^(?) (X)'= rI(Ci) (?)> ^(а) (х)'^(а)(а)'= 1I(X)' (о)'' (2.85) описывающая вращение триады А(а)' относительно А(а)Л По аналогии с формулой (П.8) введем 3-вектор угловой скорости
Q м=|е(Ч1«)|')?м(Ч(>)(л)„ (2.86)
где Liy)iay = dL{x){o),/dT. Так как производная Ферми (например, см. [70]) невращающейся тетрады А'(а), равна нулю:
Azl '=^zl '__LZz (ui DalDnL)-о
бт nW- Dt Л<я>' с2 Піп)'т\и Dt U Dt J -и,
то из (2.84) — (2.86) находим
-y^tiv)^. (2-87)
Заметим, что последнее выражение может быть также представлено в виде-
O(Ot)- ^(Ot)(X)(T)
2 Чт)(х)(4)'
где y{i)ijHk) = h{i mA^AJ); „ — коэффициенты вращения Рич-чи. Следовательно, данное определение угловой скорости вращения триады совпадает с общепринятым (см. [46]).
Через коэффициенты вращения Риччи могут быть также выражены угловая скорость (2.76), тензор скорости деформаций (2.77) и ускорение системы отсчета (2.78):
ш 2 rci)(x),T)'
60 (2.88)
Трехмерное физическое пространство определим в системе отсчета одиночного наблюдателя как гиперповерхность событий, одновременных с его точки зрения. В общем случае глобальную синхронизацию часов провести не удается. Поэтому для каждого момента времени К определим гиперповерхность /, точки которой одновременны для движущегося по закону (2.83) наблюдателя в некоторой небольшой окрестности его мировой линии. Наилучшим образом (с точностью до членов второго порядка малости) эта гиперповерхность реализуется геодезической гиперповерхностью /, ортогональной в данный момент собственного времени т базисной линии*).
Семейство геодезических гиперповерхностей f (т) используем в качестве гиперповерхностей Коши, входящих в квантовомеханические уравнения движения (2.46). При таком выборе семейства гиперповерхностей f (т) оператор Гамильтона будет не только описывать динамику квантовомеханической системы в системе отсчета одиночного наблюдателя, но его ожидаемые значения можно будет также приближенно интерпретировать (в консервативном случае) как значения энергии этой физической системы, измеренной наблюдателем.
Для арифметизации гиперповерхностей /(т) каждой ее точке P однозначно поставим в соответствие три инварианта у{а\ определенных следующим образом (рис. 3):
где er,, — значение канонического параметра а в точке Я, определенного вдоль геодезической, принадлежащей гиперповерхности f и проходящей через данную точку Р. При этом (т = 0 в точке, принадлежащей базисной линии, к' — касательный к этой геодезической вектор в точке
Геодезические гиперповерхности / (т) в общем случае могут иметь сингулярности, так как выходящие из одной точки геодезические в принципе могут пересекаться (см. [81]). Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением небольшой окрестности мировой линии наблюдателя — мировой трубкой. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в § 3.6.
«Л1=У W=VrkKv
(2.89)
<т = 0.
61 Для того, чтобы иметь возможность описывать систему отсчета одиночного наблюдателя в рамках монадного формализма, рассмотрим конгруэнцию х1 = х1(у{а\т) в качестве конгруэнции мировых линий тел отсчета (2.75), т.е. положим
у* = у(*\ к = T. (2.90)
Если тензор угловой скорости (2.76) окажется при этом равным нулю, то мы получим нормальную систему отсчета. В общем же случае Comn=/= 0 (заметим, что comn = 0 не совпадает с условием Q(a)=0), конгруэнция х1 = х1(у{а\ т) не ортогональна семейству гиперповерхностей /(т) и не существует какого-нибудь другого семейства ортогональных гиперповерхностей.
Вернемся, однако, к квантовой механике. Как мы видели (см. § 2.3), при написании уравнений движения (2.46) необходимо некоторую конечную 4-мерную область пространства-времени представить в виде однопараметри-ческого семейства пространственноподобных гиперповерхностей f(X). Задание этого семейства еще не позволяет однозначно определить систему отсчета (если, например, дополнительно не потребовать, чтобы она была невращающейся). Поэтому в квантовой механике надо дополнительно развить математические методы (эквивалентные заданию конгруэнции мировых линий тел отсчета (2.75) в классической физике), позволяющие однозначно учитывать все свойства системы отсчета. Решение этой задачи связано с переходом к координатному представлению.
