Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Горбацевич А.К. -> "Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения" -> 27

Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.

Горбацевич А.К. Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения — Мн.: Университетское, 1985. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayamehvobsheyteor1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 49 >> Следующая


§ 3.4. Эрмитовость

оператора Гамильтона

Из определения скалярного произведения (3.22) следует, что норма вектора состояния \XV> сохраняется:

JL<W\W> =0, (3.46)

если биспинор W (напомним, что Hr = 1P) удовлетворяет общековариантному уравнению Дирака (3.13). В § 2.3 было отмечено, что это соответствует эрмитовости оператора Гамильтона. Сейчас же мы хотим показать, что оператор Гамильтона, полученный из (3.42), действительно эрмитов, т.е. показать (см. § 2.4 и 2.6), что

= Ж или WH*=MH — ihOG-\ (3.47)

82 где матрицы G и G 1 задаются выражениями (3.25) и (3.24).

Так как дифференциальный оператор (D)H инвариантен относительно координатных преобразований, то справедливость соотношения (3.47) достаточно доказать в какой-нибудь одной системе координат. Воспользовавшись этим для упрощения дальнейших вычислений, выберем систему координат (*') следующим образом:

х* = у\ хА = ск. (3.48)

В этом случае гиперповерхности f (к) совпадают с координатными гиперповерхностями x4 = const, уравнение (3.40) имеет вид cihx? 4 = {D) HxV, где

<¦>. И =-??$.( _A»r4 + vVr- +iTY4 +

+ -Г VV^". ). (3.49)

Вектор

нт, определяемый из соотношения (3.23), будучи записан в этих координатах, имеет следующие компоненты:

Aiw = IOf 0, 0, лГ=^), nM = {g-4Vr^rS, -A2VzrS]. (3.50) В соответствии с формулами (3.25) и (3.24) находим

Wv4?' G-=VV4O (в^лГ=!), (3.51) откуда следует

ihGG-' = ihc(^rY4Y4.4- "Iі). (3.52)

Воспользовавшись соотношениями (1.51), (1.52), (2.110) и (2.111), а также учитывая промежуточные результаты

(Y4Ya^a )ф = Y4Ya^a +--Y4 (Ya. a+Twa YaX Г Є ^ Q Г(+ G - I = _ [ Г. + Y4 (v4e + Г?у} ] f

(YVra)ф=-Y4YaFa +Y4(Yaa+na YmX

(Yr=-Y4,

83 окончательно получим

<D>tf®==G((D)tf+)G-' =

=(0)я+-^HY4Y44-A2FS4). (3.53)

При сравнении соотношений (3.52) и (3.53) легко заметить (TJU4 = в 4/в), что уравнение (3.47) выполняется при любом выборе Y-матриц. Последнее же означает, что оператор Гамильтона, найденный в § 3.3, эрмитов.

Из (3.51) следует, что наиболее простое представление достигается при таком выборе Y-матриц, что

Y4 = AY(4), (3.54)

где постоянная матрица y(4) определена в соответствии с (1.40). Действительно, в этом случае соотношения (3.24), (3.25) и (2.108) становятся особенно простыми:

G = ^3"1/2/, G-l^g'/2/,

_ 3 (3.55)

где g3=det(ga?). Таким образом, выбор Y-m3tPhl* в соответствии с условием (3.54) приводит к координатному представлению с ортогональными базисными векторами

К'(</)>•

Отметим, что соотношение (3.55) для координатного представления (без внутренних степеней свободы) оператора импульса независимо было получено в работе [89] (правда, в несколько иной форме). В этой работе, однако, были использованы совершенно другие идеи и все рассуждения проводились относительно криволинейных координат в плоском 3-мерном пространстве.

§ 3.5. Связь оператора Гамильтона с тензором энергии-импульса

Оператор Гамильтона Ж был нами введен в § 2.3 как оператор, определяющий через уравнения движения (2.46) динамику квантовомеханической системы относительно некоторой системы отсчета, для задания которой введено векторное поле касательное к конгруэнции мировых линий тел отсчета X1 = X10/Д). Одного этого оказалось недостаточно для того, чтобы в рамках кванто-

8*4 вомеханической интерпретации общековариантного уравнения Дирака (см. § 3.3) однозначно определить оператор Гамильтона. Действительно, матрица 2, значение которой необходимо для вычисления на основе соотношения (3.42) координатного представления оператора Гамильтона, содержит, как это следует из (3.43), неизвестную унитарную матрицу U. Аналогичная ситуация имеет место и в нерелятивистской квантовой механике в случае инер-циальных систем отсчета (таким образом, и в отсутствие гравитационного поля), где оператор Гамильтона определяют из принципа соответствия с классической механикой, т.е. в классической функции Гамильтона координаты и импульсы заменяют на соответствующие операторы. Так как функция Гамильтона не инвариантна относительно канонических преобразований, сохраняющих форму уравнений Гамильтона (т.е. уравнений движения), она, очевидно, не может быть определена однозначно. Для построения же оператора Гамильтона используют, как правило, не произвольные функции Гамильтона, а только такие, численные значения которых совпадают с полной энергией механической системы. Поэтому оператор Гамильтона, как это уже отмечалось в § 2.3, в инер-циальных системах отсчета можно рассматривать (для консервативных систем) так же, как и оператор энергии. (Именно благодаря данной функции оператор Гамильтона в конечном счете может быть найден однозначно.)

Воспользуемся этой аналогией для однозначного определения оператора Гамильтона в случае произвольных гравитационных полей и потребуем, чтобы его ожидаемые значения удовлетворяли соотношению

<4'|J^4'> =J Tftdfh (3.56)

/

где T4 — тензор энергии-импульса дираковского поля, определенный посредством (3.18). Очевидно, что величина, стоящая в правой части равенства (3.56), — естественное обобщение понятия энергии ноля Дирака на случай произвольного гравитационного поля Действительно, если в некоторой системе отсчета время к однородно, т.е. векторное поле будет полем векторов Киллинга
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 49 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed