Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
62 § 2.6. Координатное представление
Пусть f принадлежит однопараметрическому семейству 3-мерных пространственноподобных гиперповерхностей f(X):X(x') = const, которые были определены в § 2.3 в связи с записью уравнений движения. Каждой точке P гиперповерхности / поставим в соответствие N векторов гильбертова пространства (ср. § 2.1) I vА(у)> у которые являются собственными векторами эрмитова оператора положения qa:
=</AKG/)>. (2-91)
где строчные греческие индексы пробегают, как обычно, значения от 1 до 3, а прописные — от 1 до N. Оператор qa будем считать явно не зависящим от времени Xy т. е. положим 6qa/OX = 0. Вырождение (N-кратное) собственных значений уа обусловлено дальнейшими приложениями к описанию частиц с внутренними степенями свободы. Так, например, для дираковского электрона следует положить N = 4. В этой связи уместно также отметить, что термин «оператор положения» в данном случае не совсем точен. Скорее речь идет об операторе координаты, т.е. о таком же операторе, каким является оператор je в теории Дирака. Построение же оператора положения для дираковского электрона требует выделения одночастичных состояний.
Введение векторов Ivx(y)> связано с некоторой арифметизацией гиперповерхностей f(X)y так как при этом каждой точке P гиперповерхности однозначно ставятся в соответствие три действительных числа уа. В общем случае эти числа не имеют ничего общего с системой координат jjc'}, введенной в рассматриваемой области пространства-времени, а связаны с заданием системы отсчета. Так как все числа уа не зависят явно от времени X (как собственные значения не зависящего явно от времени эрмитова оператора), то конгруэнцию линий Xt = X^yriy X) (не обязательно ортогональную семейству гиперповерхностей X(х') = Const!) можно рассматривать как конгруэнцию мировых линий тел отсчета. Тела отсчета по определению покоятся относительно задаваемой ими системы отсчета.
63 Так как оператор qa эрмитов, то в общем случае (ср. § 2.1)
<vA(P)\v,(P')> = [G (Р)]Л26(3)(у — у'), (2.92)
где 6<3)(</)= б (/)6(/)6(/)- 3-мерная 6-функция Дирака; G(P)—пока произвольная эрмитова /VXN-матрица
[G (P)Iz = IG (P)U т. е. G(P)=G+ (P), (2.93)
которая в свою очередь может зависеть от координат; уа и у'а — собственные значения оператора qa, соответствующие точкам P и P'.
В следующей главе будет показано, что при кванто-вомеханической интерпретации общековариантного уравнения Дирака матрица G однозначно выражается через y-матрицы Дирака и некоторое векторное поле, ортогональное гиперповерхности f. Поэтому только в случае специального выбора у-матриц и системы координат матрица G становится единичной, что соответствует ортонор-мированным векторам | vл(у)> (ср. § 2.1). Чтобы не ограничивать себя в выборе, рассмотрим общий случай, когда на матрицу не наложено никаких дополнительных условий, кроме ее эрмитовости (2.93), необходимой в силу свойства скалярного произведения (2.1).
В дальнейшем ограничимся рассмотрением гильбертовых пространств, в которых векторы \vA(y)> образуют полный базис. Условие полноты базиса в соответствии с (2.23) и (2.30) имеет вид
I=\\G(y)r\v,(y)> <vv(y)\d3y = = \{G(y)]AV\v\y)> <vv(y)\d3yy (2.94)
где d3y = dyx dy1 dy%\ [G(y)|Ar— матрица, обратная матрице [G(y)]Ar; I vA(y)> —базисные векторы, образующие базис, сопряженный к \v2(y)> . То есть все используемые обозначения совпадают с ранее введенными в § 2.1—2.4.
Представление векторов и операторов гильбертова пространства относительно базиса \ил(у)> будем называть координатным представлением*), а представление относительно сопряженного базиса \иА(у)> —коорди-
*) Строго говоря, здесь речь идет о некотором координатном представлении с внутренними степенями свободы. Однако для краткости сохраним в дальнейшем термин «координатное представление».
64 натным контрапредставлением. Следовательно, координатными представлением и контрапредставлением некоторого вектора |ф> являются величины <pA= <vA (у)\у> и фл(^)= <v*(y)|ф> . Скалярное произведение двух произвольных векторов |ф> и \х> в соответствии с (2.15), (2.57) и (2.31) имеет вид
<ФІх> = \^(у){0(у)Г%Лу)^у= = \{v-nG(y)]*vx4y)d*y.
или в матричной форме
< фі х> = s ф+ (у) G -1 (у) X {у) d3y=\ Фф (у) X (у) d3y = = S Ф+ (у) G (у) X (у) d3y=\ Ф® (у) X (у) d3y. (2.95)
Координатным представлением оператора Я будем называть такую матрицу l (элементами которой в общем случае могут быть также и дифференциальные операторы), что для любого вектора |гр> из Ь выполняется соотношение
сМ^ч» ЧМУЖЧ^)- (2.96)
Эта матрица всегда может быть найдена из уравнения < иЛ (у) I 2>ц» = J d*y' < ил (у) IS (у')> ф0 (у'\
полученного с помощью соотношений (2.92) и (2.94). Аналогично определяется и координатное контрапредстав-ление оператора Я. В дальнейшем ограничимся выписыванием формул только для координатного копредставле-ния, предполагая, что получение аналогичных формул в контрапредставлении не вызовет никаких затруднений.
Заметим, что, следуя терминологии, принятой в § 2.4, координатным представлением следовало бы назвать величину <vA(y)\^vii(y/)> .
