Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
+ Ttw^wwW-
+ тс2[( 1- +
+ (а 4-+ а<"а, ; + «%>.«-+ „)-
- ^^'"'""«„ої^^и- -f-»(e))}, (4.19)
заметно отличающееся от (4.17). Нетрудно также проверить, что оба оператора ((4.17) и (4.19)) не являются эрмитовыми, так как дифференциальный оператор (D)H в общем случае не есть координатное представление эрмитова оператора Гамильтона W4 а связан с последним посредством соотношения (3.42). Специализируя формулы, полученные в главе 3, находим следующее выражение**) для оператора Гамильтона в координатном представлении, описывающего квантовую механику в движущейся произвольным образом во внешнем гравитационном поле системе отсчета одиночного наблюдателя [90, 91]:
Легко проверить, что выбор Y-матриц в виде (4.16) и (4.18) соответствует выбору фундаментального спинора Y^fl в виде (1.7).
В плоском пространстве-времени (в = в(а^ = 0) выражение
(4.20) совпадает с точным выражением для координатного представления оператора Гамильтона в системе отсчета одиночного наблюдателя в пространстве Минковского (см. § 5.2).
99 Ж= -?-а<">{(1 + 5 + 6). (рм- -2-Лм)} + к +
+ тс2 (1 + Є) ? + тс2 W(a)yM? - со(х> (LM+Sm) -
-Me" (Pw—T^w)} + + feWWW^e,.,
--f{a(o)e<"»w, (^,-JL^,)}. (4.20)
где р{х)— координатное представление оператора импульса (см. § 2.7), а
?<«>=W1Vti (рм- -f-Лы)
— координатное представление оператора орбитального момента импульса. Кроме того, здесь были использованы следующие обозначения:
К)= ^ jSjsl'«М- i«w^M(v)awY,
S(K)=-faMY,
которые могут быть получены из (3.83)—(3.86) в результате замены у всех величин индексов a, ?, у ... на тетрадные, что обусловлено специальным выбором параметров yA(i/A = i/(a)f см. (2.90)). Матрицы Gy D0 и #+ Uy определяющие представление, а также величины Ay Ity Tiiy п находятся из формул (3.25), (3.38), (3.67), (3.37), (3.34), (3.23) и (3.26) соответственно. Введенные выше матрицы a(x), ?, S(x), а также операторы р(х) и */(т) удовлетворяют соотношениям (3.74)—(3.82), в которых все индексы следует заменить на тетрадные.
Рассмотрим сейчас более подробно вопрос об инвариантности оператора Гамильтона относительно спинорных преобразований. Как отмечалось в главе 3, вид оператора Гамильтона как функции физических операторов не зависит от выбора у-матриц. Однако при спинорных преобразованиях меняются представления этих операторов: вид дифференциальных операторов, например р(х), и матриц a(x), ? и т. д. В частности, при выборе
100 y-матриц в виде (4.16) эрмитовы операторы представляются эрмитовыми матрицами (ЛФ = Л+), так как матрицы G и D0 в этом случае пропорциональны единичной:
G~(l--i-a)/, G-'~(l + -i-a)/,
При этом a(x), ?, p(x) и Sw, входящие в оператор Гамильтона (4.20), имеют вид
®(x)=a(K), $ = ?, -S(K)= 5(х),
й J-Aa- (4-21)
P(X)- ^r(X) T 4/ •*
Если же матрицы Дирака выбрать, например, в виде (4.18), то
$ — ?+ (4.22)
a(x)-aM- TeW(t)(v)a(t)?(v)V; (4.23)
= (4.24)
(4-25)
В этом случае a(|}^a(x) и т. д., хотя матрицы
(4.22), (4.23) по-прежнему удовлетворяют соотношения^ (3.74)--(3.82). Следовательно, эрмитовы операторы представляются неэрмитовыми матрицами, так как
^ Оператор Гамильтона в координатном представлении W имеет в обоих случаях одну и ту же форму (4.20), отличие же заключается лишь в явном виде матриц а(х), $ и т.д. (ср. (4.21) и (4.22)-(4.25)), удовлетворяющих одним и тем же соотношениям (3.74)-(3.82). Последнее означает, что матрицы ax, ? и Sx и дифференциальный оператор р можно интерпретировать как различные зависящие от выбора y-матриц представления одних и тех же эрмитовых (в силу (3.74) и (3.75), см. также § 2.4) операторов в гильбертовом пространстве.
Таким образом, оператор Гамильтона описывающий динамику квантовомеханической системы в системе
101 отсчета одиночного наблюдателя, имеет вид (4.20), где произведена замена
aw-a<x, piar (4.26)
Эрмитовы операторы a(v), ?, q{ci\ fr и 5^(a) вводятся в гильбертовом пространстве так, чтобы они удовлетворяли соотношениям (3.74)—(3.82). Из этих соотношений следует, что операторы q & (ct) и g{у) формально
(ср. сноску на с. 64) можно интерпретировать как операторы положения, импульса, спина и орбитального момента импульса. Оператор же Гамильтона
X = X^ ?, (4.27)
— инвариантная функция относительно координатных и спинорных преобразований. Если известно уравнение движения «наблюдателя» в форме (2.83)*), то, используя формулы (4.4)—(4.14), можно в принципе вычислить величины є, ?(а) и є(а)(Р). После их подстановки в (4.20) и последующей замены (4.26) можно найти оператор Гамильтона в виде (4.27).
Выясним вопрос о границах применимости оператора Гамильтона (4.27). Уже при выводе формул (4.2) было сделано предположение о малой кривизне пространства-времени (є(і)(/уС 1). Но из (4.20) следует, что только в этом случае можно говорить о квантовой механике. Если же условие е(|)(/)<С 1 не выполняется, то «энергия» взаимодействия электрона с гравитационным полем и полем центробежных сил (член тс2(6 + ?) в операторе Гамильтона) уже не будет исчезающе малой по сравнению с его энергией покоя тс2. Поэтому можно ожидать, что будет происходить рождение электронно-позитронных пар, Хотя до сих пор вопрос о рождении пар гравитационным полем до конца не исследован [92—94], тем не менее очевидно, что он выходит за рамки квантовой механики и требует более строгого исследования с учетом квантовой теории поля. В этой связи полученные выше формулы можно применять только в задачах, для которых е(/)(/)<1. На первый взгляд может показаться, что это условие сильно суживает область применения полученных результатов. Однако если учесть, что квантовые эффекты играют существенную роль только (или почти
