Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим пример. Пусть в инерциальной системе отсчета 2 с постоянной по величине и направлению скоростью V движется атом водорода. Для вычисления его спектра удобнее всего перейти в систему отсчета 2', в которой этот атом покоится, и, следовательно, электромагнитное поле, создаваемое ядром, будет кулоновским. Галилеевы координаты, введенные в системах отсчета 2 и 2', будут связаны между собой посредством преобразования Лоренца (3.5), где (см., например, [36, 74])
-sHjr=?^-О-
#«' = — -2ї__ 1 L
ь --Г.-ІТ-Т-1Г *
4'_
„ Vi -V2Zc2 ' 4 VI-^A2' Записывая уравнение Дирака (3.1) в системе координат {хг} и используя при этом матрицы Дирака в виде
(что соответствует подходу 2), которые очевидно удовлетворяют перестановочным соотношениям
{V(„Yr}=2riir (V=diag(l. 1, 1, -1)), (3.8)
72 получим
dt
(D) W = сotv> v,+ mc2? - , (3.9)
где av=Y4Yvi ґ = л]хх'х~„ Таким образом,
атом водорода, покоящийся в системе отсчета S', описывается точно таким же оператором Гамильтона, как и атом, покоящийся в системе отсчета 2.
Однако наряду с у-матрицами (3.7) перестановочным соотношениям (3.8) удовлетворяют также и матрицы уг=и'тут (что соответствует подходу 1), т.е.
І ( I Л -V 1 °4
Y -V +TV^r-.Vc2 Vy " ' лЛ-^Т?7
,4'
яггО'-тт-)-
(3.10)
r VT=^T?
В этом случае из (3.1) следует
(3.11)
дґ где
со,ЛГ— (l — + -imcvj +
+ iv^l-
- ^ (1 - V1 - ^2/^2) ^ V'] • (3.12)
Здесь 5ТХ= [vT» YxI-
Можно показать (см. § 3.6), что уравнениям (3.9) и (3.11) будут удовлетворять различные волновые функции xY и xV, а собственные значения операторов (D)tf и (D)tf будут одинаковыми только в том случае, если нормировка волновой функции xV осуществляется в соответствии с (3.4), а волновой функции xY — согласно соотношению
<VF|VK> =(l--^)-|/2 J Wl-
V \ /' = COnst
-^avJ MrCfV=I.
73 § 3.2. Общековариантное уравнение
Дирака
Спинорное волновое уравнение, полученное Дираком в 1928 г., впервые было обобщено на римановы пространства в работах Г. Вейля, В. А. Фока и Д. Д. Иваненко [25—29]. Дальнейшие исследования в этой области связаны с именами многих авторов, что привело к различным формам записи уравнения. Не останавливаясь на этих вопросах и следуя [36], запишем общековариантное уравнение Дирака в форме
VkxV-.,+ ^vF = O, (3.13)
где Mr и ya — биспинор и метрический биспинтензор, определенные в § 1.2 и 1.3 соответственно. Раскрыв ковариантную производную HrlftB соответствии с ее определением (1.49), получим
ya (^ft+ TkW)+ -^V = O, откуда с учетом (1.53) следует
Y4 [v. * + -J-т' (Y/. * - Y/Im) V =F 4"г- •+
+ -і-(ф4 4-е, O^H--X-xIr = O. (3.14)
В плоском пространстве-времени в случае использования галилеевой системы координат, в которой g..= г)..= = diag (1, 1, 1, —1), Tlnft = O, y-матрицы могут быть выбраны постоянными и, следовательно [36],
г, *= ± ^sp(YVym)=O.
В этом случае уравнение (3.14) должно, очевидно, переходить в уравнение (3.1). Из сравнения этих уравнений находим, что действительный вектор Oft, определяющий полуметрический характер спинорной связности (см. § 1.5), пропорционален (с точностью до несущественного калибровочного преобразования) 4-вектору электромагнитного потенциала Фа=—2eAk/hc.
Из уравнения Дирака (3.13) следует, что сопряженный биспинор xF(xF = V+P) удовлетворяет уравнению
1F^Ya--iYxF = O. (3.15)
74 Складывая уравнение (3.13), умноженное слева на Hr, и уравнение (3.15), умноженное справа на Wy получим уравнение непрерывности
(Y ;* = 0> (3-16)
где {D)jk = iecWyk4f— дираковский ток. Из (3.16) следует закон сохранения электрического заряда:
Ж= о, Q=-J-j<Vd/m, (3.17)
где интегрирование ведется по некоторой пространствен-ноподобной 3-мерной гиперповерхности I для элемента которой имеем
dfm = --IrEmnrSdVnrsy dVnrs = 3\{d^nd2xrd3xs).
Дираковский ток, как известно [88], может быть представлен в виде суммы двух частей: (d)/a = = (cv7* + (po,7*. где
— конвективная часть, имеющая сходную форму с плотностью тока скалярной теории Клейна — Гордона — Фока;
lpcllZt=S^I
— поляризационная часть, учитывающая электромагнитную поляризацию электрона.
Общековариантное уравнение Дирака также может быть получено исходя из вариационного принципа (подробнее об этом см. [36, 72] ), с лагранжианом
L = JlL(чу W k-W. kykW + w).
Можно показать, что данному лагранжиану соответствуют плотность электрического тока, совпадающая
с «у, н следующее выражение для тензора энергии-импульса поля Дирака:
Tmn=-^.[WiymV. п + УпЧг. т)-
V3-1 о)
75 § 3.3. Связь
квантовомеханических уравнений движения с уравнением Дирака
В § 2.6 рассмотрено специальное координатное представление с вырожденными неортогональными базисными векторами I (*/)>. При этом отмечалось, что введение базисных векторов предполагает задание некоторой системы отсчета, описываемой конгруэнцией мировых линий тел отсчета х1 = х1(уук). Положив N = 4 (т.е. A=Ie 2, 3, 4), покажем, что общековариантное уравнение Дирака (3.13) в общем случае можно рассматривать как координатное лредставление квантовомеханических уравнений движения (2.46).
