Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Биспинор входящий в (3.13), отождествим с вектором состояния IxF^ в координатном представлении, т.е. положим (см. § 2.6)
V (Xі (у, к)) = Ч> (у Д)=« ил 0,)1 W (Х)> ), (3.19) или в развернутом виде (ср. (1.8))
~х'~ < У, (у)I ?(>.)>
X2 _ <v,{y) \W(X)>
ф|- <v3(y) \W(X)>
Фі <vA(y) \W(X)>
Отметим, что координаты {л:1} в общем случае не имеют ничего общего ни с выбором гиперповерхностей Zr(X), ни с параметрами уа (см. § 2.6).
Закон сохранения электрического заряда (3.17) позволяет с точностью до постоянного множителя интерпретировать плотность дираковского тока {D)jk как плотность тока вероятности. В этом случае норма вектора состояния, которую мы определим как*)
< 1F11F > = ±y*»j«dfmt (3.21)
также будет сохраняться, т.е. оператор Гамильтона будет эрмитов (2.47). В соответствии с (3.21) получаем опреде-
Знак «•— > (минус) необходим для положительной определенности скалярного произведения, которая гарантируется временноподобностью
вектора (D)/m (СМ. (1.26)).
76 ление скалярного произведения двух векторов гильбертова пространства в координатном представлении
<0,|<>2> = \U(y)[i?ymnm)b2(y)d3y, (3.22)
f
где временноподобный вектор пт> ортогональный гиперповерхности /, находится из- соотношения
dfm = nmd3y. (3.23)
Входящие в (3.22) биспиноры (у) и Ь2{у) являются координатными представлениями векторов \Ь\> и (ср. (3.19) и (3.20)).
Покажем, что данное определение скалярного произведения непротиворечиво, т. е. что правая часть соотношения (3.22) действительно обладает всеми свойствами скалярного произведения ((2.1)-(2.3)). Соотношения (2.2), (2.3) непосредственно следуют из линейности интеграла. Для доказательства свойства (2.1) перейдем в (3.22) от матричной формы записи к индексной.
Биспиноры и в стандартном представлении (см. § 1.2) имеют вид
Wu/' W2/
В соответствии с этим из соотношений (1.11) и (1.21), (1.22) и (3.22) следует
< Oi I <Ь> J [Фма"мйф2й + nmd3y.
Учитывая эрмитовость метрического спинтензора [отАв = = огпва), находим |$2> = <г<>2|д|> Восполь-
зовавшись соотношениями (1.11) и (1.12), легко убедиться в том, что футпт— эрмитова матрица, т.е. {футпт)+ = = (футпт).
Таким образом, выражение (3.22) действительно можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов гильбертова пространства в координатном представлении.
Сравнивая соотношения (2.95) и (3.22) и учитывая (3.19), находим
G -1 =i?ymnmy (3.24)
откуда
G =in~2ymnm?, (3.25)
77 где
п = л1 — птпт.
(3.26)
Полученные соотношения позволяют интерпретировать общековариантное уравнение Дирака (3.13) как координатное представление уравнений движения (2.46). Причем векторами в пространстве представлений (речь идет о координатном копредставлении) будут биспиноры. Очевидно, что матрица G в общем случае не является единичной, т. е. речь идет о координатном представлении с неортонормированными базисными векторами \vA(y)> , и только при весьма специальном выборе Vm3tPhU и параметров уа ее удается сделать единичной. (Последнее соответствует переходу к представлению с ортонорми-рованными базисными векторами |ЪА>{у)> .) Необходимость введения неортонормированных базисных векторов обусловлена требованием ковариантности уравнения Дирака (3.13) относительно спинорных преобразований, зависящих от координат. Действительно, биспиноры $ и ^f==Sb — различные координатные представления одного и того же вектора |<К> eg: $=<v(y) Vf= <v'(у)|d> , где, очевидно,
\v\> =(S + )AZ|U2>. (3.27)
Так как в общем случае S+=^=S"1 (см. § 1.2),
< I V'z> ф < vA I . (3.28)
Общие соотношения, полученные в § 2.6, рассмотрим в случае, когда матрица G имеет вид (3.25). Так как G = G + , то выражение (3.25) можно представить в виде (2.18), т.е.
D + (3.29)
Это соотношение не позволяет однозначно определить матрицу D. Очевидно, что общее решение уравнения (3.29) может быть представлено в виде
D=UD0y (3.30)
где Do — эрмитова матрица (Doh=Do), удовлетворяющая уравнению (3.29), a U — произвольная унитарная матрица (U+U=UU+=I).
Для нахождения матрицы D0 перепишем уравнение (3.29) в более удобном виде. Из (1.11) и (1.21) следует, что
78 lv„,?l=vm? + ?vm=-/(0m о Pmam-pJ- (З-ЗІ)
Учитывая явный вид матриц ат и р„, (см. (1.22)), найдем
п _ > ( їЧпП + Отії —(1 —V2) ^mf2 \ /о O9N Om pm— tt і /і л2\ і а2 i , (о. o^s)
Y2 ^ -(I-Y )^Ii ^«fi + Y ^mia ^ где Y = I Yj 2|. Очевидно, что если фундаментальный спинор Y/U? имеет вид (1.7), т. е. y, 2= то матрица (3.32) становится пропорциональной единичной матрице /, и, следовательно, матрицу ? можно представить в удобном для дальнейших вычислений виде
? = —ИтуП\ (3.33)
где временноподобный единичный вектор /m = (aml-, 4" + 2)/2, Imim= — 1, зависящий от выбора Y-m3tPhl** может быть также найден и из соотношения
^=-HvP)- (3-34)
Так как фундаментальный спинор инвариантен относительно унимодулярных спинорных преобразований (см. § 1.1), то, не нарушая общности, всюду, где это не будет оговорено специально, будем полагать Yi2" ^ или, что то же самое, F = Q = O. Такой выбор фундаментального спинора несколько упрощает все последующие вычисления. Соотношение (3.33) позволяет представить матрицу G в следующем виде: G = ti~2 (nmlm + iSmsnmls)y где в соответствии с (1.31) Smn = -IylfnVnj- Таким образом, D20 = n~2(nmlm + iSmsnJs). (3.35)
