Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Для нахождения уравнений движения (2.46) в координатном представлении воспользуемся результатами § 2.4 и тем, что оператор положения по определению не зависит явно от времени. Следовательно, вектор |Oua((/)/6A,:> лежит в собственном пространстве вектора \v(y)> (см. § 2.4), а уравнения движения (2.46), (2.64) принимают вид
l*=-+^*'6) IMfL (2-97)
где в соответствии с результатами § 2.4 для координат-
5. Злк 6718
65 ных представлений ковариантных производных вектора и оператора гильбертова пространства (|6Ч;/6А>> и ЬЗ?/ЬХ) были введены следующие обозначения:
б) Ir= #"РОЛГ].
При этом матрица 2 (у) может быть представлена в виде (2.74)
Z(y)=(D(y))+(D+(y))-1 (0(^)=-^21), (2.98)
где D (у) связывает базисные векторы 1«Л(</)> и не зависящие явно от времени X ортонормировамные векторы
К-(У)>
I =0),
а также удовлетворяет соотношению D+(у) D (у)= G (у).
В заключение заметим, что на практике координатное представление строится несколько иначе. Исходным понятием является некоторая система отсчета, определяемая конгруэнцией X1 = X1 {уа,Х) мировых линий тел отсчета. Причем параметр- X должен быть выбран так, чтобы уравнение X (xl) = Const задавало семейство гиперповерхностей, плотно заполняющих некоторую конечную область пространства-времени. Тогда оператор qa, названный нами оператором положения, может быть построен исходя из параметров уа и некоторого полного набора взаимно ортогональных (для разных уа) базисных векторов \vA(y)> , удовлетворяющих соотношению (2.92):
yiuA(y)> <vA(y)\d3y.
.j.
'onst
§ 2.7. Оператор импульса и его координатное представление
Оператор импульса определим с помощью оператора трансляций, который задан на гиперповерхности /. Так как бесконечно малые трансляции в первом
66 порядке коммутируют (см., например, [70]), то, повторяя те же вычисления, как и в случае 3-мерного эвклидова пространства (см., например, [53]), найдем следующие перестановочные соотношения:
= [/^Vl=-T (2-99)
Строго говоря, речь здесь идет об операторе обобщенного импульса, канонически сопряженного оператору положения введенному в § 2.6. Оператор бесконечно малой трансляции ya-+yajt б у* принимает в этом случае вид
T (6у)=I--L-Syi^i, (2.100)
т.е. оператор импульса определен, как и обычно, как генератор бесконечно малых трансляций вдоль про-странственноподобной 3-мерной гиперповерхности.
При нахождении явного вида оператора импульса в координатном представлении будем в основном следовать идеям, изложенным в [53], учитывая, однако, что в нашем случае собственные значения оператора положения вырождены, а его собственные векторы не орто-нормированы.
Из уравнения на собственные значения (2.91) перестановочных соотношений (2.99) и определения оператора бесконечно малой трансляции (2.100) находим
<7A I T (б у) оЛ (у)> = [у* + б у") IT (б у) Vx (у)> ,
т.е. вектор I T (6у) ил (у)> также является собственным вектором оператора положения qa, но с собственными значениями уа-\-Ьуа. Таким образом, этот вектор лежит в собственном пространстве вектора \v(y-{-oy)> и может быть разложен по векторам I (*/ +б(/)> , образующим полный базис в этом пространстве:
\T(6y)vA(y)> =[U(y,6y)}rA\vr(y + 6y)> , (2.101)
где коэффициенты разложения
[ U (у. б</)]11Л = < о1'' (у + 6у) I T (бу) V л (у)>
еще предстоит определить. Так как трансляция с 6(/ = 0 представляет собой тождественное преобразование, то T(Sy = O)=I. Поэтому матрицу U (у,Ьу) можно представить в виде
U(y,6y) = I+B^y*. (2.102)
67 Учитывая унитарность оператора трансляций T+ = T 1 и соотношение (2.92), получаем
< T (8у) VЛ (у)\Т (6у) (у')> = Ga2 (у) №(у-у').
В то же время из уравнения (2.101) следует
<T(6y)vAy)\T(6y)vz(y')> =
=W (у, ЫГЛО {у + бу)]го[и (У', бу)}\6^(у-у').
Сравнивая два последних соотношения и учитывая произвольность б у, получим, что матрица B^ должна удовлетворять уравнению
В+,{у)О(у)+С{у)В,(у)+д,О(у) = 0, (2.103)
где дь=д/ду*. С помощью соотношений (2.100) — (2.102) находим
(У)> = - .
откуда следует (ср. (2.96)):
Используя обозначение
и переходя к матричной форме записи, получим выражение для оператора импульса в координатном представлении:
к=**'«+ -T В$ (2.104)
Так как оператор положения не зависит явно от времени, то из перестановочных соотношений (2.99) следует, что оператор импульса также явно не зависит от времени, т. е.
(iA) =*?l=O.
\ дк /ех Ьк
Из этого уравнения и соотношений (2.96), (2.97), (2.99) и (2.104) находим еще два условия, которым удовлетворяет матрица B-:
дф,-д,В,+[В^В,} = 0; (2.105)
В, = [В^+)-д^+(в,= ^-). (2.106)
Из уравнений (2.103), (2.105) и (2.106) матрица B^ может быть определена с точностью до несущественного унитар-
68 ного преобразования. В частности, самому простому представлению соответствует следующий вид матрицы S*:
(2-107)
В заключение запишем основные соотношения для оператора импульса в координатном представлении
P-^^Id+^O"1; (2.108)
РЇ=к, (2.109)
pb-p.+ ^D^dsP + idiD+XD-yy, (2.110)
