Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.
Скачать (прямая ссылка):
Такая же ситуация имеет место и в квантовой механике, построенной на основе общековариантного уравнения Дирака.
а) -L Jir|4?>;
(5.1)
[«7a. ?1=0, [<7*, ^J = /йб- [<Д SrJ=O1 [*"„, ^p] = 0, [<?а , = \9>* , STp] = Ifteepx ^z-
(5.2)
110 Собственные значения оператора положения не зависят явно от времени, поскольку введенные в некоторой системе отсчета декартовы координаты рассматриваются в этой же системе отсчета как не зависящие явно от времени (условие сопутствия). Отсюда вытекает, что векторы всегда можно выбрать так, что \bu?/6t> =0 и оператор положения не зависит явно от времени (ср. § 2.6). (Аналогичные рассуждения справедливы такж'е для операторов импульса и спина.) Тогда из уравнений движения (5.1) следует
А^а=о. A^a=O. (5.3)
Уравнения (5.3) позволяют найти явный вид уравнения (5.1, б) для любого физического оператора ^3a,
Следовательно, для квантовом^ханического описания физической системы остается найти лишь явный вид оператора Гамильтона.
Переход от одной системы отсчета к другой. Рассмотрим две системы отсчета 2 и 2, относительные скорости которых малы. Квантовомеханические уравнения, как предполагалось, имеют в них одну и ту же форму (5.1). Все величины, введенные в системе отсчета 2, будем отмечать чертой. Так, например, |4f>, qay W — вектор состояния, оператор положения, оператор' Гамильтона в системе отсчета 2; |Mr> , qa , W — аналогичные операторы в системе отсчета 2. Пусть оператор Гамильтона в системе отсчета 2 — известная функция Ж = = W (q^9/),_ требуется найти явный вид оператора a, ^ay t) в системе отсчета 2, если ее макроскопическое движение относительно системы отсчета 2 известно. Эту задачу решим двумя методами. Первый из них — метод унитарных преобразований — достаточно подробно разработан Э. Шмутцером и И. Пле-баньскнм [63]. Второй же метод, основанный на принципе соответствия с классической механикой [58—60], назовем методом сопутствующих операторов.
Метод унитарных преобразований. В этом методе унитарные преобразования, зависящие от времени, играют двоякую роль. Во-первых, служат для перехода от одной картины к другой, во-вторых, используются для перехода между системами отсчета. Чтобы последовательно раз-
111 делить эти их функции, воспользуемся ковариантной (и тем самым не зависящей от картины) формой уравнений движения (5.1).
Рассмотрим одну и ту же физическую систему по отношению к двум различным системам отсчета 2 и І В системе отсчета 2 (E) физическая система описывается вектором состояния |ЧГ> (|ЧГ>), а также набором физических величин (наблюдаемых), которым отвечают эрмитовы операторы qay &*ау S?a(qay Так как при переходе в другую систему отсчета (пассивное преобразование [106]) физическая система не изменяется, то для вектора состояния должен выполняться следующий закон преобразования:
|Ч>> =|Ч'>. (5.4)
В отличие от этого с переходом в новую систему отсчета связано изменение набора наблюдаемых, что соответствует следующему закону преобразования для операторов:
<?=U{t)&U+{t)y (5.5)
где U (t)—некоторое унитарное преобразование, описывающее переход между обеими системами отсчета (например, U может реализовать вращение, трансляцию и т.д.).
Для нахождения уравнений движения в системе отсчета 2 воспользуемся тем, что унитарное преобразование U (t) может описывать также и изменение картины: \XV> '=U\W> , g'^U&U+. Так как уравнения движения (5.1) ковариантны относительно любых, в том числе и таких унитарных преобразований, то можно записать
--X^
IbSt \ ( дзг\, (5-6)
\ бt ) \ dt ) ex'
где Уравнения (5.4) и (5.5), записанные в этой картине, имеют вид |XF> = U+ |ЧГ> Подстановка последних соотношений в систему уравнений (5.6) дает_
¦?-(!)„• и
112 где U = (d(J/dt)vx (имеется в виду явная зависимость от времени по отношению к системе отсчета 2). Поскольку принимается одинаковая форма уравнений движения (5.1) во всех системах отсчета, то из (5.7) следует
W = ?? + ihU+U. (5.8)
Метод сопутствующих операторов. В системе отсчета 2 в 1КЛдем операторы qa{qa, /), 0 и /), ожидаемые
значения которых совпадают с ожидаемыми значениями операторов положения, импульса и спина qa, ^9a и ^a, введенных в системе отсчета 2:
<Ч'| qV> =c4r\q4r>, <Ч'|^»Ч'> = <Ч'|^а1Г'>, (5.9)
где I Ч;> и I lK;> — векторы состояния в системах отсчета 2 и 2 соответственно. Введенные таким образом операторы ^9a и 9*а будем называть сопутствующими (по аналогии с сопутствующими координатами). Из принципа соответствия с классической механикой следует, что ожидаемые значения операторов q f ^ri и и операторов qa, ^ и ^a должны быть связаны так же, как и соответствующие классические величины. Таким образом, стоящие в правых частях уравнений (5.9) ожидаемые значения в принципе известны, так как предполагается известным макроскопическое движение системы отсчета 2 относительно 2.
В общем случае сопутствующие операторы явно зависят от времени. Однако существует такая картина (в дальнейшем ее будем называть Л-картиной), в которой эти операторы от времени не зависят, т.е.
