Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Горбацевич А.К. -> "Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения" -> 36

Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения - Горбацевич А.К.

Горбацевич А.К. Квантовая механика в общей теории относительности. Основные принципы и элементарные приложения — Мн.: Университетское, 1985. — 160 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayamehvobsheyteor1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 49 >> Следующая


JLqa = О -J^ = O -^a = 0 dt Ча ' dt ^a и' dt ^a и-

Тогда, используя (2.45), получаем систему уравнений

Эта система с учетом соотношения (2.44), имеющего в данном случае вид (Гл)+ = —Гл, позволяет находить аффинную связность ГА в Л-картине, так как ковариант-

н Зсік 6718 113 ные производные сопутствующих операторов можно вычислить непосредственно.

Сравним теперь уравнения движения в Л-картине в системе отсчета 2 с соответствующими уравнениями в картине Шрёдингера, но в системе отсчета 2.

Система отсчета 2 (Л-картина)

яї —пА— — — — О

а) dt qа™ dt dt

б) ...../), (5.11)

в)

где

П = П(^, t) = ??A-ihYA. (5.12)

Система отсчета 2 (картина Шрёдингера, Ts = O)

я) — ns — — ^s- — ^s-О a) dt dt dt ^a""и'

б) ?i 9>l о = 0.

в) ih^\w>s=??s\4r>sy

(5.13)

где = (ql> 9*1, t). Значок «Д» над операторами Я и Ж в (5.11) указывает на то, что в них операторы <7a, ^a и & а выражены через сопутствующие, например:

J^ = J^tfa, ^a, ^a, t) = X(qa(qa, /), ... ,0. (5.14)

Очевидно, что равенства (5.9) только тогда не будут нарушаться с течением времени, когда системы уравнений (5.11) и (5.13) эквивалентны. Последнее, однако, возможно лишь в случае, если оператор Гамильтона Jflfs и оператор П являются одинаковыми функциями от операторов qsa, и qAy S^ соответственно.

Так как П в принципе известно, то известен и оператор Гамильтона ^s (в картине Шрёдингера). Следовательно, в любой картине должно выполняться соотношение

?f(qat ^a , ^a , 0=П(<7а, ^a , ^a , /). (5.15)

114 Итак, для нахождения оператора Гамильтона в системе отсчета I достаточно в операторе Il сопутствующие операторы qa, ^0a и заменить операторами qа, ^a

и ^a , введенными в этой системе отсчета.

Квантовая механика в движущейся произвольным образом жесткой системе отсчета*). Рассмотрим спиновую частицу, движущуюся в скалярном поле ф (г). В инерциаль-ной системе отсчета 2 оператор Гамильтона, как известно, имеет в этом случае вид

(5-16)

Переход в движущуюся произвольным образом жесткую систему отсчета 2" осуществляется в два этапа. Вначале рассмотрим систему 2', движущуюся поступательно со скоростью V(t) относительно инерциальной системы отсчета 2, а затем перейдем в систему отсчета 2", имеющую общее начало с системой 2', но вращающуюся относительно 2' с угловой скоростью ?2(/). В силу известной теоремы Шаля такое разбиение движения жесткой системы отсчета на вращательное и поступательное всегда возможно (см., например, [107]).

Применение метода унитарных преобразований. Операторы положения, импульса и спина qay ^3a, введенные в инерциальной системе отсчета 2, связаны посредством следуюїдих соотношений с аналогичными операторами qa, ^a, ^a, введенными в движущейся поступательно системе отсчета 2':

4a=UTqaU+ = qa-R„(t)I,

^a =Ut^01 U+= ^a -mV а (/) /,

^a = Ur^aUr+ = Pa ,

где Vа = Ra (/). Унитарный оператор Ut, реализующий это преобразование, может быть представлен в виде [63]

UT = exp{- JL(/?«#e_m/^e + f (/))}, (5.17)

м Здесь под жесткой системой отсчета понимается такая система отсчета, тензор скорости деформаций (см. (2.77)) которой в нерелятивистском пределе равен нулю.

115 где f(t)—произвольная действительная функция, в чем нетрудно убедиться с помощью известной формулы (см., например, [53])

п — оо

ехр{Я) Jtexp { — = 2 (5.18)

л=*0 П'

В (5.18) использовано обозначение jf]0 = jfy ... ,

Для вычисления оператора Гамильтона в системе отсчета 2' необходимо в соответствии с общей формулой (5.8) найти производную (dUT/dt)ex. Воспользуемся одним из следующих соотношений:

OO

-?(ехр (<?))=( 2 —<?1,)ехр(^) =

л = O ^ ''

п — оо

= ехр(<?) E (5.19)

л =O ^ ''

которые получаются с помощью (5.18) при вычислении коммутатора \ехр{3!),Л\ где в качестве Jt выбран оператор d/dt. Подставляя в (5.19) явный вид оператора Ut (5.17) и учитывая, что операторы qa и ZPa в системе отсчета 2' не зависят явно от времени, находим

UtUr=Jr{Ra^a-mqaRa + f(t) +

+ -f-(AaAe-/?a/Ja)]. (5.20)

Из последнего соотношения, а также формул (5.8) и (5.16) получаем выражение для оператора Гамильтона в ускоренной системе отсчета

+ (5.21)

где ф(<7а) = ф(<7а); Wa = Ra. При этом, воспользовавшись свободой выбора функции f (/), положили f(t) = m/2 Ra Ra, что обесі*ечило независимость от времени оператора Гамильтона для консервативных систем.

Рассмотрим переход от системы отсчета 2' к системе отсчета 2". Введем в 2" операторы положения Qa, импульса Pa и спина Sa. Они связаны с соответствующими

116 операторами, определенными в системе отсчета 2', с помощью соотношений

где Lex* — ортогональная матрица (см. приложение), описывающая вращение системы 2" относительно 2'. Унитарный оператор вращения U0 так же, как и Ut, может быть представлен в виде экспоненты [63]:

где Са = паФ; Da = &a + Sa и J^a = ^axtQxPt- операторы

полного и орбитального моментов импульса соответственно. Единичный вектор па = na(t) направлен по мгновенной оси, вокруг которой надо повернуть систему отсчета 2" на угол ф(/), чтобы она совместилась с системой отсчета 2'. Используя (5.20), а также соотношения (П.18) и (П. 19), после несложных, но громоздких вычислений получаем ih U^UD= -QaDa . В соответствии с (5.8) это приводит к окончательному выражению для оператора Гамильтона в движущейся произвольным образом жесткой системе отсчета:
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 49 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed