Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
A+ro A—m
h(z,z) z~z~M0). (6.34)
|z|-»oo
Обозначим через Сд°т (Q пространство бесконечно дифференцируемых функций в комплексной плоскости (не обязательно голоморфных), удовлетворяющих асимптотическому условию (6.34). В пространстве C^m(C) С C°°(U(1)) определим операторы liA'ml(g) формулой
T^m\g)f(x,x) = Iz? + (!^lI) f(ze, xg). (6.35)
Аналогично определяются операторы T'[A'ml(g) в пространстве C00(U2):
T,[x'm](g)f(?,0 = 1*7 + «Iа (I^ff) /(?)-
Условие склейки (6.33) отождествляет операторы ТІА,т1(#) и T 1Л'т1 (g) на пересечении карт U1 и U2.
Поскольку C^m(C) С Cco(Ttnp1(U1)), то в формуле (6.35) предполагается, что Ttitp1(Xg) С U1. Это условие выполняется не для всех g Є SL(2,<Q. В частности, оператор TfA'ml(«>), где W= (ї V) не определяется формулой (6.35). Однако асимптотическое условие (6.34) позволяет доопределить его путем предельного перехода. Таким образом, формула (6.35) и асимптотическое условие (6.34) определяет индуцированное представление Indp?(2,Q (тг) = ТІЛ'т) группы SL(2, С) 316
Глава 2,
в пространстве C\,m(C). Множество {T'A,ml|A Є С,т Є Z} называют основной неунитарной серией представлений группы SL( 2,Q.
В пространстве C^m(C) определены инфинитезимальные операторы представления 7ІЛт1, задающие представление алгебры Ли s[(2,C). Поскольку sl(2,<C) = su(2) ® VcrTsu(2), то базис в этой алгебре состоит из элементов Aj, j = 1,2,3, определенных формулой (5.5), и элементов
B1 = -г A1, B2 = -г A2, B3 = -iA3,
касательных к однопараметрическим подгруппам
/chf shf\ ( Chf ishf\
«<*>=Ul 4)- ^=U1i Ci2J-
•м-р 0X
V 0 е V
При этом, кроме соотношений (5.6), выполняются коммутационные соотношения
[Ai,Bj] = EijkBk, [Bi, Bj] = -EijkAk, i,j,k = 1,2,3,
где eijk — полностью антисимметричный тензор, такой ЧТО Є123-1.
Дифференцируя операторы Г[л,т1(^(т)) по параметру т и полагая т = 0, найдем инфинитезимальные операторы Bi представления г[А'т1:
B1 = 1(1 - г2) JL + 1(1 -z2)§z + Iiy1 Z+ V2Z), B2 = -|(1 + z2)fz + |(1 + Z2) JL + I (U1Z - U2Z),
где U1 = ^"tто и и2 = ^ ~то. Несложно также найти явный §6. Индуцированные представления 317
вид операторов Аі, і = 1,2,3, в представлении Т'А'тЬ
^ = 1(1-^-5(1-+ I^ A2 = |(1 + Z2)-jL + |(1 +I2) JL - Iiu1Z + u2z),
Как и раньше, вместо операторов Ai будем иметь дело с операторами
H+ = iA1 - A2, H- = iAi + A2, H3 = іA3,
а вместо Bi определим операторы
F+ = W1 - B2, F- = W1 + B2, F3 = іB3.
Для новых базисных элементов алгебры st(2,C), кроме соотношений (5.15), выполняются также коммутационные соотношения
[Яь F3J==F Ft, [Яз, F±]=± F±, [H+, F-]=- [iL, F+]=2F3, [H+,F+] = [.H-, FL] = [Яз, F3] = 0 [Ft, F3] = ±Я±, [F+,F_] = -2 H3.
6.5a. Компактная картина представлений основной неунитарной серии. Представления Indp^2'® (тг) группы SLi2, Q можно реализовать также в пространстве функций на максимальной компактной подгруппе SU{2), обладающих свойством левой [/(І)-ковариантности. Обозначим это пространство через С™ (SU(2). Если F(к) Є C^ (SU (2)), то
F(k'k) = eimwF(к), к' = diag(e-ilJ, еіи) Є t/(l). (6.36)
Следуя общей теории индуцированных представлений, определим операторы n'A'ml(g-), g Є SL(2, С), формулой
n'A'm'(g)F(fc) = (r(k,g)f F(kg), (6.37) 318
Глава 2,
где r(k,g) = (I — va + «712 + | — v? + Шр)1/2 (обозначения см. в (6.25)), a kg вычисляется из разложения kg = h(kg)kg, к, kg Є SU(2), h(kg) Є P. При произвольных комплексных А и при m Є Z формула (6.37) определяет представление группы SL(2,Q. Это так называемая компактная картина представлений основной неунитарной серии.
Задача 2. Воспользовавшись отображением
докажите эквивалентность представлений ТІА,т1 и П'А'т1.
Удобство компактной картины в том, что в ней легко осуществить сужение индуцированного представления на подгруппу 517(2). Действительно, матричные элементы tlpq(k) с фиксированным первым индексом р = у удовлетворяют условию (6.36) и составляют базис пространства Cm (SU(2)). (Замыкание линейного пространства всех
N I imi
конечных сумм Yl S cIQ^m 'о = -йг; в счетно-нормиро-
ванной топологии пространства Cm (SU(2)) совпадает с этим пространством.) Из этого и из теоремы Петера-Вейля следует, что представление ПІл'т1 при сужении на подгруппу 517(2) разлагается в прямую сумму неприводимых представлений Ti, I0 =z и каждое представление входит в разложение однократно. Поскольку представления TtA'm' и ПІЛ,ГП1 эквивалентны, то то же самое можно сказать о сужении на подгруппу 517(2) представления T1Ia'*"]. Множество неприводимых представлений подгруппы 517(2) в представлении Г^'"1' (или в п'А'т1) называют его 517(2) -спектром.
В каждом 517(2)-неприводимом подпространстве Sj1m С С Cm (SU(2)), совпадающем с span {i'm | — I ^ q ^ Z}, выберем
Y1
базисную функцию
f(z,z)-+F(k(u,v)) = И
(и) /( 5' «)'
J=I0 g=-| Y Я
tl (k(u, «)) = (-!)
(21)1 \ §6. Индуцированные представления 319
Отображая пространство Cm (SU(2)) в пространство C^0m (С2) ро формуле
А
F(k(u,v)) f(z,z) = (1 + \z\2)2 F(k(z,z)) (6.38)
