Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
(IV) Tj1 ® [Tj2 ® (Th ® Tj4)],
(V) (Tj1 ® Tj2) ® (Т|3 ® Tj4).
Переход от разложения (I) к разложению (IV) можно осуществить по цепочке
(I) -V (II) (III) (IV)
или по цепочке
(I) (V) (IV),
использовав на каждом шаге коэффициенты Рака. Поскольку конечные формулы связывают одни и те же представления (I) и (IV), то матричные элементы результирующих преобразований в двух случаях одинаковы и мы приходим к равенству
^12^23, ll23)R(hh3h, І123І234,1)ЩІ2ІЗІ4,І23І34,І234)=
'и
= R(li2hh, Z123Z34, l)R(hhl34, Z12Z234,0» (5-77)
открытому независимо JI. Биденгарном и Дж. Эллиоттом. Используя соотношения симметрии, для 6j символов Вигнера его можно записать в виде
где d = a + ? + j + a + b + c + a' + b'+cf. §6. Индуцированные представления 299
§ 6. Индуцированные представления
Индуцированные представления являются наиболее распространенным классом представлений групп. Особенно важны они в приложениях: в квантовой механике, теории поля, теории динамических систем и т.д. Реализация пространственных симметрий на волновых функциях квантовой системы — типичный пример индуцированного представления. Законы преобразования векторных, тензорных или спинор-ных полей при пространственно-временных преобразованиях из группы Пуанкаре также определяются формулами индуцированных представлений.
Начало теории индуцированных представлений положили работы Фробениуса 1898-1901 гг. В них он дал конструкцию индуцированных представлений для случая конечных групп, развил теорию индуцированных характеров, доказал теорему взаимности [37]. Методы Фробениуса были распространены на непрерывные группы сорок лет спустя. В классической работе Э. Вигнера 1939 года (см. [5]) унитарные неприводимые представления группы Пуанкаре были построены по схеме индуцированных представлений. Затем этот метод Баргман применил для получения неприводимых представлений группы SL(2,М) и одновременно Гель-фанд и Наймарк — для изучения представлений группы Лоренца (1947 г.). Вскоре Гельфанд и Наймарк (1950 г.) распространили конструкцию индуцированных представлений на комплексные классические группы Ли и в рамках этой конструкции описали «почти все» их неприводимые унитарные представления.
Систематическое исследование индуцированных представлений общих локально-компактных топологических групп предпринял Макки в 50-х годах. Он обобщил на этот случай почти все результаты Фробениуса, установил важный критерий индуцированности и построил теорию индуцированных представлений расширений групп.
Фундаментальный цикл работ по общей теории представлений вещественных полупростых групп Ли выполнил Xa-риш-Чандра. Итогом этого более чем 25-летнего творческого процесса, участниками которого, помимо Хариш-Чандры, 300
Глава 2,
были многие выдающиеся математики, явилось завершение (в идейном смысле) классификации неприводимых унитарных представлений полупростых групп Ли, описание характеров представлений так называемых дискретных серий, построение меры Планшереля и гармонического анализа на полупростых группах Ли [77].
Топологические аспекты теории индуцированных представлений выявлены в фундаментальной работе Бореля и Вей-ля, выполненной в середине 50-х годов. Важное утверждение теории Бореля-Вейля состоит в том, что реализуя конечномерное неприводимое представление комплексной группы Ли как индуцированное представление мы по-сути строим линейное голоморфное расслоение над однородным флаговым многообразием группы; пространством представления в этом случае является пространство сечений расслоения. Обобщая эту теорию, Ботт показал (1957 г.), что конечномерные представления можно реализовать также в пространствах высших когомологий флаговых многообразий. Это утверждение послужило основой для известной гипотезы Ленглендса о реализациях неголоморфных дискретных серий полупростых групп Ли в пространствах интегрируемых когомологий. Связь теории представлений с топологией — перспективное направление теории симметрий. Среди его возможных приложений — геометрическое квантование, описание инстантонных конфигураций калибровочных полей, топологические теории поля.
Некоторые примеры индуцированных представлений, приведенные ниже, являются лишь простейшими фрагментами и одновременно истоками большой теории, изложение которой может быть темой отдельной книги.
6.1. Определение индуцированных представлений.
Наиболее простым и вместе с тем универсальным примером индуцированного представления является регулярное представление (правое или левое). Пространство правого регулярного представления состоит из функций на группе, а действие операторов задается формулой
TR(gi)S(g) = S(ggi).
(6.1) §6. Индуцированные представления 301
Если M — однородное пространство топологической группы G с правым действием групповых элементов: x-g = xg, X Є АГ, то на функциях f(x) Є C(M) определено представление операторами сдвига:
T(g)f(x) = f{xg). (6.2)
Фиксируем точку жо Є М. Пусть H — стационарная подгруппа этой точки. Тогда M можно отождествить с пространством левых смежных классов группы G по подгруппе Я: M ~ H\G. Каждой функции f(x) Є C(M) поставим в соответствие функцию F на группе G: F(g) = f(xog), постоянную на левых смежных классах. Тогда формуле (6.2) будет соответствовать формула
