Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
cJi J2(Jia),JsJ = ^tf(Z1Z2Z35Z12Z235Z) с^'^(Ьз),'. (5.68)
J2s
Числа u(ZiZ2Z3, Zi2Z23,Z) называют коэффициентами Рака (или коэффициентами пересвязывания). Они не зависят от индексов i,j, к,... ,р базисных элементов. Обратное к (5.68) соотношение имеет вид
cJni,J2Js(J23),і = Yi Rihl2I3, Zi2Z23, Z) с^'1^'3'. (5.69)
Jx2
Поскольку коэффициенты Рака образуют унитарную матрицу, то верны соотношения ортогональности
EiWibz3, Zi2Z23, Z)?(ZiZ2Z3,Z'12Z 23, Z)- Si , , (5.70)
J2s
E ^(Zi Z2 Z3, Zi2 Z23, Z)u(Zi I2I3,Ii2I23,1) = Sh^3. (5.71) Ji2
Векторы (е,- ® fj) ® hjj и е,- ® (fj ® hjt) совпадают. Выразим с помощью формулы (5.67) вектор е* ® (fj ® h*) через C^s(J23)1J и ПОдСтавим это выражение для (е* ® fj) ® h* в (5.66). Сравнивая полученную формулу с формулой (5.68) и полагая, что коэффициенты Клебша-Гордана вещественны, получаем
^(ZiZ2Z3,Zi2Z235Z) = ^?'12?'?3'?'23- (5-72) § 5. Представления группы SU(2) 295
Коэффициент Клебша-Гордана C1i^1k 1 равен нулю, если тройка чисел (/1,/2,/) не удовлетворяет условию треугольника |/і — ^ I ^ h +12- Поэтому коэффициент Рака (5.72) равен нулю, если хотя бы одна из троек (/1,/2, '12), Єі2,^3,0> (/г»ьі^2з), (/1,/23,0 не удовлетворяет этому условию. Заметим, что выполнение условия треугольника для тройки (/1,/2,/) не зависит от порядка чисел.
Коэффициенты Рака вычисляются с помощью выражений для коэффициентов Клебша-Гордана (детали см., например, в [86], глава 8). Приведем одно из этих, выражений:
r(l 1/2/3,/12/23,/) = ^ (_l)f12-na3-i-i3 a(fl) fa> /12)А(/і2,/3,/)А(/і,/, /2з)А(/2, /з, /2з) (/2 - /1+/12)! (/і+/2-/12)! (/12 - /з+/)! (/12+/3-/)!
(/2+/12-/+/23)! (/2+/12+/+/23+І)! [(2/23+1)(2/І2+1)]1/2 х (/і-/+/2з)!(/-/і+/2з)!(/2+/з-/2з)! (/2-/3+і23)! х
X4F3
(h—h— /12, /з — /2 — ьз, —'і — /2 — /12 — 1, \
-/2-/3-/23-1 її,
—2/2, / — /2 — /12 — /23, —/2 -/12-/-/23-1 у
(5.73)
где
Д(а,Ь,с) =
(а + Ь - с)! (а - Ь + с)! (Ь - а + с)!
(а + Ь + с + 1)!
Все другие выражения для коэффициентов Рака выводятся из (5.73) с помощью соотношения
P ( X, у, Z, -п Л = 4 3 \ и, V, W )
{v-z + n-l)\(v- 1)!(ы - 1)!(и - Z + п - 1)!
(w - Z - 1)! (v + n - 1)! (u + п - 1)! (и-г- 1)!
в котором u+v+w=x+y+z— 71 + 1.
W — X, W — у, Z, -п + Z — п, 1 — U + Z — Tl, W
296 Глава 2,
Свойства симметрий проще описываются не для коэффициентов Рака, а для связанных с ними 6j символов Вигнера
{ Із кз } = (-1),1+,а+,"+,К2'» + 1^2iM + 1M"* *
x R(hhh,laha,l)-
Группа симметрий 6j символов Вигнера имеет 144 элемента. Они являются следствием соотношений симметрии для функций .. ; 1) (см. [86], глава 8). Символ | '(2 | не изменяет своего значения при перестановке столбцов, а также при одновременной перестановке I1 с Is и I2 с I. Также выполняется соотношение
{h к li2 I f h «і ~к S1-112 I ^ ^
h I кз ) |'з «1-і «і- кз J '
где Si = (I2 + I12 + I + кг)II. Эти симметрии порождают всю группу симметрий. В отличие от перестановочных симметрий, которых существует 24, симметрии типа (5.74) называют симметриями Редже.
5.13. Предельные переходы. Предельным переходом из коэффициентов Рака получаются коэффициенты Клеб-ша-Гор дана, а из последних — d-функции Вигнера. Эти предельные переходы являются следствием формулы
Iim p+iF9+i(ai,... ,ар,Rx-, h,... ,bq,Ry, 1) =
R—юо
= pFq(all • ¦ • iapi bl, . . . , bg; jj),
которую несложно доказать, исходя из определения гипергеометрической функции. Имеем
Iim (-1)а+ь+<і+ел/2Д(2с+1) J ° Ь I =
v v ' \ d + R e + R f +R ) = C(a,b,a, f — e,d — f,d — e), Iim C(l - n, I2,1; m - k, k, m) = 4п(Ы0)),
l,m—> oo
где второй предел таков, что lim т (l + jH =
/,тп—Voo V л /
COSf- § 5. Представления группы SU(2) 297
Заметим также, что если а, Ь, с —» оо, причем предел берется так, что
а(а + 1) + Ь(Ь + 1) + с(с + 1)
Iim-, -= cos в,
2 у/а(а + 1)6(6 + 1)
то
{а Ь С ) (_l]a+Hrt-i+m } = \ ' -
Ъ + т а + п I J у/(2а + 1)(26 + 1) ™
5.14. Тождество Рака. Переход от представления (Ti О T2) ®Т3 к представлению Ti ® (T2 ® T3), осуществляемому с помощью коэффициентов Рака, можно выполнить согласно цепочке
(Ti®T2)®T3 (Т2®Ті)®Т3 Т2®(Ті ®Т3)
і
T1 ® (T2 ® T3) Tl ® (T3 ® T2) (T1(S)T3)(S)T2
Эта цепочка содержит перестановку множителей в скобках и замену скобок. Замена скобок осуществляется с помощью коэффициентов Рака. Перестановка множителей, как это видно из третьей части формулы (5.56), сводится к возможной замене знаков. Проводя детальный анализ, получаем соотношение
R(hhl3, loli3,I)R{hhh, кзкз, I) =
/12
= 112I23J). (5.75)
После учета соотношения симметрии его можно записать для 6j символов Вигнера в виде
+1>{? ЇЙ }{"?}=
/із
Эти соотношения называют тождествами Рака. 298 Глава 2,
5.15. Формула Биденгарна—Еллиотта. Тензорное произведение четырех унитарных неприводимых представлений группы SJJ(2) можно различными способами разложить на неприводимые представления:
(I) [(Th ®T,2)®T,3]®Tj4,
(II) [Th ® (Th (S) Th)] (S) Tu,
(III) Tll ® [(Th ® Th) ® Tu],
