Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
5.8. Характеры. Вычислим характеры Xj представлений Tj группы SU(2). Характеры х имеют свойство X(glggrX) = x(g)i то есть они являются функциями от g, постоянными на классах сопряженных элементов. Каждый класс сопряженных элементов в SU(2) содержит диагональную матрицу. Поэтому характер Xi(g) можно рассматривать как функцию на диагональных матрицах. Диагональные матрицы
и только они определяют один и тот же класс сопряженных элементов.
Пусть g = gigz(t)gil- Тогда согласно формуле (5.19)
(5.38)
gz(t) — diag(e ,е ), g3(~t) = diag(e ,є )
Xi(g) = Xi(g3(g)) = Y tUfo(O) 286
Глава 2,
5.9. Тензорное произведение представлений.
Тензорное произведение Th ® Т/2 представлений группы SU(2) — унитарное представление. Поэтому оно разлагается в ортогональную сумму неприводимых представлений. Чтобы найти, какие представления входят в это разложение, нужно характер представления Tr1 ® Tj2 разложить в сумму характеров неприводимых представлений. Характер представления Tj1 ® Tj2 равен произведению характеров представлений Tj1 И Tj2.
Согласно формуле (5.39),
xi<(g) = хмт= E e~imt' i = 1'2- (5-4°)
m=-Ii
Поэтому при Ii ^ І2 имеем
ь e-imt/ei(/i+l)t _ e-i/it\
хь(Ы*))хьЫ*)) = E - eit_1-- =
17?=—12
Ь ei(/1+m+l)t _ e-i(l1+m)t Ь
= L -^TT1- = E Xb+mteW)-
m=—12 m=—h
Следовательно,
h+h
Th(S)Th= ф Tu (5.41)
I=Ib-IsI
где суммирование ведется только по целым или только по полуцелым значениям I, в зависимости от значения h + h-
5.10. Коэффициенты Клебша-Гордана. Пусть Sji, г = 1,2, — линейные пространства (не обязательно совпадающие с пространствами п. 5.1), в которых заданы неприводимые представления Tji группы SU (2). Согласно формуле (5.41) пространство І5і®55г разлагается в ортогональную сумму подпространств Sji, в которых реализуются представления Tj:
Il+І2
Sji®Sj2 = ф Sji-/=Ib-Ы
(5.42) § 5. Представления группы SU(2) 287
Выбираем в пространстве (5.42) два ортонормированных базиса. Первый базис состоит из элементов
3 = ~h,-h + 1,... ,h; к =-I2,-I2 + (5.43)
где е,-, j = -h,... ,Ii, и є*, к = -I2,... ,I2, — ортонормиро-ванные базисы соответственно в пространствах Sjі и Sj2, в которых операторы Н+,Н-,Нз задаются формулами(5.16)-(5.18). Другой базис состоит из элементов
elm, Ih-hl^l^h+h, m=-l,-l+l,...,l, (5.44)
где em, m = —I,... ,1, — базис подпространства Sji из (5.42), в котором операторы H+, H-, H3 задаются формулами (5.16)-(5.18).
Базисы (5.43) и (5.44) связаны унитарной матрицей С:
el = Ec^J2,J; j,k,m)ej®e'k, (5.45)
3,к
еі ® е'к = E C(h,I2,1-, j,k,m)elm. (5.46)
/,m
Ясно, что
C(h,l2,l; j, к, т) = (ej ® e'fc,e'TO),
где справа стоит скалярное произведение пространства Sj2. Числа С(li,I2,1; j,k,m) называют коэффициентами Клебша-Гордана тензорного произведения Ti1 ®Т/2.
Поскольку H3 = Щ и (Ti1 ® Th)(H3) = Ttl(H3) ®Е + + E ® Ti2(H3), то согласно формуле (5.18) имеем
(Ihe1rn, ej ® е'к) = rn(elm,ej ® е'к) = (e'm,H3(ej ® е^)) = = (e'm, (Hsej) ® ejt + е,- ® (Н3е'к)) = (j + к)(е'т, ej ® е'к). Следовательно, при j + к Ф т имеем
C(h,l2,l-, j,k,m) = 0.
Поэтому в (5.46) т = j + к и суммирование по тп фактически не проводится. В (5.45) суммирование ведется по тем значениям индексов j и к, для которых j + к = т. 288 Глава 2,
Коэффициенты Клебша-Гордана являются элементами унитарной матрицы. Поэтому выполняются соотношения ортогональности
j,k,m)C(h,l2,l'-, j,k,m) = 6w, (5.47)
3,к
E cCij,m - j,m)C(h,I2,1; j',m - j',тп) = %<.
(5.48)
Из того, что базисы (5.43) и (5.44) связаны матрицей С, вытекает, что операторы представлений в этих базисах связаны формулой
Th(g) ® Tl2(g) = с* Т, (g)^ С. (5.49)
Взяв матричные элементы от левой и правой частей этой формулы, получим равенство
(g)t'kk'(Є) = EC(h,l2,l-,j,k,j + k) X і
X C(li,l2,l,; j',k',j' + k')tlj+ktj,+k,(g). (5.50) Здесь суммирование ведется по тем значениям I, для которых |fi h, -I^j + k,f + к'? I.
Из леммы Шура вытекает, что свойство (5.49) оператора С не изменяется, если С умножить на унитарный оператор, кратный единичному оператору на каждом подпространстве Sji разложения (5.42). Это означает, что коэффициенты Клебша-Гордана С(li, I2,1; j,k,m) определяются с точностью до постоянной а(1), не зависящей от j и к. Как видно из формулы (5.45), умножение C(h,l2,l; j,k,m) на а(1) приводит к замене базисных элементов (5.44) на а(1)е1щ. В последнем базисе операторы Ti (g), g Є SU(2), задаются теми же формулами, что и в базисе (5.44). § 5. Представления группы SU(2) 289
Умножая левую и правую части равенства (5.50)
на tlj+k,y+k< (^)' интегрируя его по группе SU(2) и учитывая соотношения ортогональности для матричных элементов, получаем
С (h,I2,1-, j,k,j + k)C(h,h,l; j',k',j' + k') =
= (21 + 1 ) J t%. (g)4, {g)tlj+kd,+k,{g)dg. (5.51)
Подобным образом выводится формула
C{h,h,l-, j',k',j' + k')tlj+kJ,+k,(g) =
= E Ф(e)C(h,h,i; j,k,j + k).
5.11. Вычисление и свойства коэффициентов Клеб-ша—Гордана. Положим в (5.51) j = j' = I1, к = к' = -I2, подставим выражения (5.25) и (5.28) для матричных элементов и учтем выражения для t1mn(g1(e)) из п. 5.5. Полученный интеграл вычисляется с помощью формулы
