Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 3. Покажите, что представление T группы G унитарно тогда и только тогда, когда соответствующее представление алгебры А симметрично, то есть такое, что Т(а*) = Т(а)*, а Є А.
Формула
T(go)a = T(go) ( E ag? ) = E aSgog = E V1^' ° Є
V g ) g g
задает представление группы G в пространстве алгебры А, эквивалентное левому регулярному представлению в пространстве функций на G. Ему соответствует представление Т(ао)а = аоа алгебры А. Ясно, что инвариантными подпространствами в А являются левые идеалы, а неприводимы-266
Глава 2,
ми инвариантными подпространствами — минимальные левые идеалы. Разложению
А = Д +I2 + ... + /„ (4.27)
групповой алгебры А в прямую сумму ее минимальных идеалов соответствует разложение
T = Тг+Т2 + ... + Tn
регулярного представления группы G (и алгебры А) в прямую сумму неприводимых представлений. Для разложения (4.27) нужно найти разложение единицы алгебры А (ею является единица группы G) в сумму примитивных идемпотентов.
Таким образом, задача построения неприводимых представлений конечной группы сводится к нахождению примитивных идемпотентов групповой алгебры А. Все примитивные идемпотенты построены для групповой алгебры симметричной группы Sn. Они рассматриваются в следующем пункте. В общем случае построение примитивных идемпотентов — сложная задача.
Примитивный идемпотент є определяет соответствующее неприводимое представление Te группы G. Поэтому є определяет характер хє представления Te- Если є = E ?(s)S-> то
g
характер хє задается формулой
Х"Ы = Ee^T1Sb1S)- (4.28)
g
Доказательство этой формулы см. в [37].
4.7. Представления симметричной группы. Опуская детали, опишем неприводимые представления симметричной группы Sm. Доказательство утверждений, приводимых без доказательств, можно найти в [42].
Классы сопряженных элементов группы Sm нумеруются разбиением числа m в сумму целых положительных чисел (см. п. 3.3 главы 1). Поэтому согласно следствию утверждения 1 неприводимые представления группы Sm можно задавать этими разбиениями. Каждому такому разбиению
m = mi + т2 + . -. + mjt, Tri1 ^ т2 ^ ... ^ тк ^ 0, (4.29)§ 4. Представления конечных групп поставим в соответствие схему
267
содержащую к строк, причем первые клетки в строках расположены друг над другом и в j-й строке расположено rrij клеток (j = 1,2,... ,к). Построенную схему называют схемой Юнга, соответствующей разбиению (4.29). Обозначим записанную схему Юнга и разбиение (4.29) через а.
Схему Юнга с расположенными в клетках (по одному в каждой клетке) числами 1,2,...,т называют диаграммой Юнга. Диаграммы Юнга, отвечающие разбиению а, будем обозначать Sa. Диаграмму Юнга, в которой числа возрастают (в каждой строке слева направо и в каждом столбце сверху вниз), называют стандартной.
Вычисление количества Ia стандартных диаграмм Юнга, соответствующих фиксированному разбиению а, является чисто комбинаторной задачей. Число Ia задается формулой
ia = , 7!-г Wni - п,-), (4.30)
ПіIn2'
1<j
где щ = Tni + (к — г), а Tni — числа из разбиения (4.29). Они удовлетворяют условию S Za = т\, где суммирование ведется
OL
по всем разбиениям типа (4.29).
На диаграммы Юнга действуют перестановки из Sm, переставляя соответствующим образом числа. Для заданной диаграммы Юнга Sa через Pa обозначим подгруппу в Sm, элементы которой переставляют числа только в строках диаграммы Sa. Перестановки из Pa будем обозначать буквой р. Подгруппу перестановок из Sm, переставляющих числа только в столбцах диаграммы Ea, обозначим через Qa, а элементы из Qa — через q. Очевидно, что при переходе от Sa к gEa,268 Глава 2,
g Є Sm, подгруппы Pa и Qa переходят в сопряженные к ним подгруппы gPag'1 И gQag'1.
Пусть А — групповая алгебра группы Sm. Для диаграммы Юнга Sa введем элементы
/a = E = E
рЄРа дЄ<За
алгебры А, где aq = 1 для четной и <rg = — 1 для нечетной перестановок. Непосредственно проверяется справедливость формул
Pfa = IaP = /а, 0qq<pa = <pa0qq, (4.31)
fl = (ordPa)/a, ^ = (OrdQa)v3a. (4.31')
Теперь образуем элемент
е (Sa) = /a<Pa = E (4-32)
Р,Ч
групповой алгебры А. Его называют симметризатором Юнга, соответствующим диаграмме Юнга Sa.
Утверждение 7. Симметризаторы Юнга (4.32) кратны минимальным идемпотентам алгебры А:
е (Sa)2 =7е (Sa)5 7^0. (4.33)
Доказательство. Вследствие (4.31) и (4.32) для любого S Є Sm
рве (Sa) Q = CTgSe (Sa) , ре Pa, qeQa-
Наоборот, пусть а — такой элемент из А, что для всех р Є Pa, q Є Qa имеем paq = aqa. Покажем, что тогда a = 7e(Sa), где 7 Є С. Для этого положим a = Y1 aggi g Є Sm. Тогда
е
а = CTqP10-Q1 =Ct5^ agip~1g(}~1) =^X! aVgQS-g g§ 4. Представлення конечных групп 269
Следовательно,
ag = crqapgg для всех ре Pa, q Є Qa. (4.34)
Положив g = е, где е — тождественная перестановка, при всех р Є Pa и q е Qa получаем
&qapq — ое.
Таким образом, мы получим, что а = 7е(Еа), если покажем, что а/, = О при KePaQa. Если Zi е Sm не представляется в виде pq, то должны существовать числа г и s, расположенные в одной строке в Ea и в одном столбце в /гЕа. Если go — перестановка г и s, то go Є Pa a go Є Qha- Тогда при некотором q Є Qa имеем go = ZigZi-1, ag0 = aq = — 1 и согласно (4.34) получаем