Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Пусть А — матрица, элементы которой определены формулой (4.20). Составим характеристическое уравнение det(.<4 — XE) = 0. Как показано в доказательстве теоремы 1, оно имеет к корней вида
к
A a = Y ^?' где = PjXa(Oj)Zxa(Oi). t=i
Поэтому
Xa(Oj) =P^bojXa(O1). (4.24)
Матрица А (а
следовательно, и корни Xa характеристического уравнения det(A — XE) = 0) определяются коэффициентами hiji. Корни Aa определяют числа baj, входящие в (4.24). Числа Pj также определяются коэффициентами Iiij1. Действительно, поскольку O1 = {е}, то /г,Ji ф 0 только для классов Oi262 Глава 2,
и Oj, состоящих из взаимно обратных элементов, то есть т&-ких, что если Oi = [ggtg'11g Є С}, то Oj = (ggfV"1 G}. Для таких классов Hijі = Pi.
Покажем, что числа Xa(Oi) определяются коэффициентами HijI- Подставляя выражение (4.24) в соотношение ортогональности (4.3), выводим, что
к
Ixa(Oi)I2X^7lIM2 =ordG, j=i
где к — количество классов сопряженных элементов. Поэтому
і
Xa(Oi)=I--01^g „) • (4-25)
.EpJ1IbaiI2;
Утверждение доказано.
Пример 7. Рассчитаем таблицу характеров группы диэдра Db = (а, Ь I о5 = 1, Ь2 = 1, ab = Ъа~1). Эта группа имеет 4 класса сопряженных элементов:
Oi = {е}, O2 = {a,a-1}, O3 = {о2,о-2}, Oi = {Ь,Ьа,Ьа2,Ьа3,Ьа4}.
Их умножение задается формулами
CiOi = Oi, і = 1,2,3,4; O2O2 = 20i + O3, O2O3 = O2 + O3, O2O4 = 2 O4, O3O3 = IOi+O2, O3Oi = 2Є>4, O4O4 = 50і + 50г + 50з.
Уравнение det (Л — XE) = О имеет вид
«/і - X у2 у3 У4
2j/2 2/1 + ?/2 - Л г/2 + г/з 2г/4
2 г/з г/г + г/з г/і + г/г - а 2г/4
2г/4 5г/4 5г/4 г/і + 2г/г + 2г/з - а
Отсюда находим, что
Ai = г/і + 2г/г + 2г/3 + 5г/4, A2 = г/i + 2г/г + 2г/з - 5j/4,
. 1 + V5 1-л/5 . 1-V5 1 + V5 A3 = г/і--5—г/г--=—г/з, A4 = г/і--5—г/г--^—г/з-
о.§ 4. Представлення конечных групп
263
Следовательно, числа известны и из формул (4.24) и (4.25) вычисляем таблицу характеров:
"і
O1 O2 O3 O4
X1 1 1 1 1
X2 1 1 1 -1
X3 2 -i + VE 2 -l-VE 2 O
X4 2 -l-VE 2 -l + VE 2 O
Утверждение 6. Таблица характеров конечной группы определяет
1) размерности неприводимых представлений;
2) порядок группы;
3) порядок централизатора произвольного элемента g Є G;
4) количество элементов в классах сопряженных элементов;
5) количество центральных элементов группы;
6) коэффициенты Ніц.
Доказательство. Размерность неприводимого представления Ta равна значению его характера на единичном элементе: dimTQ = Xa(Ci)- Согласно формуле (4.12) имеем ordG =
= E Ixa(Oi)?.
O=I
Пусть Hg — централизатор элемента g Є G. Тогда из рассуждений п. 1.6 главы 1 следует, что ordG = pg(ordHg), где Pg — количество элементов в классе сопряженных элементов, содержащем g. Поэтому согласно формуле (4.8) имеем
OTdHg = ? Ixa(S)I2, Pj = k °rdG •
E Ixa(Oj)I2
a=l264 Глава 2,
Центр Z группы G состоит из тех и только тех элементов группы G, каждый из которых является классом сопряженных элементов. Поэтому ordZ вычисляется по предыдущей формуле.
Для вычисления коэффициентов hiji умножим обе части равенства (4.19) на (dimTa)xa(0j) и просуммируем по а = 1, 2,... , к. В результате получим
. ordG _ у^ X0(Oi)Xa(Oj)Xa(Oi) PWj h Xa(O1)
Утверждение доказано.
4.6. Представления в групповой алгебре. Пусть G — конечная группа. Через А обозначим множество всех формальных сумм a = agSi гДе ag Є С. Формулы g€G
A a = Y A°g#> А е С, а + Ь = Е(°іг +
ab =Y ^g-g'g" = EE agg"-lbs" 8 (4'26)
g",g" в \g" J
определяют структуру ассоциативной алгебры в А с умножением на комплексные числа. Из (4.6) видно, что алгебра А изоморфна групповой алгебре функций a(g) = ag на G (см. п. 3.5). Поэтому А также называют групповой алгеброй.
В А определена инволюция (автоморфизм, квадрат которого является тождественным преобразованием)
Eo^ (Eo^ eeEs^-1-g \ g / g
Задача 2. Покажите, что для любого а Є А элемент a' = ? SaS-1
geG
принадлежит центру алгебры а, то есть коммутирует со всеми элементами из а.
Формула
M = (OrdG)-1EaA
определяет скалярное произведение в А.§ 3. Представлення компактных групп
265
Важную роль в А играют элементы, называемые идемпо-тентами. Элемент є є А является идемпотентом, если е2 = є. Идемпотент называют примитивным, если его невозможно представить в виде суммы ненулевых идемпотентов.
Если є— идемпотент в А, то множество Ae = {ає \ а є А} является левым идеалом в А. Можно показать, что если є — примитивный идемпотент, то Ae — минимальный идеал, то есть такой, что не содержит в себе других нетривиальных идеалов алгебры А. Доказывается (см., например, [37]), что каждый левый идеал имеет вид Ae, причем для минимальных идеалов є — примитивный идемпотент.
Если T — конечномерное представление группы G, то
при a = Y agg Є 4 операторы g
T{a) = Y"gT{g) g
задают представление алгебры А, которое также обозначаем через Т. Определение представления группы G по представлению алгебры А очевидно. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между представлениями группы G и ее групповой алгебры А. Очевидно, что соответствующие друг другу представления группы G и алгебры А одновременно приводимы или неприводимы, эквивалентны или неэквивалентны.