Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Математические основы теории симетрии
Автор: Голод П.И.Другие авторы: Климык А.У.
Издательство: Москва
Год издания: 2001
Страницы: 528
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154
Скачать:
П.И.Голод, А. У.Климык математические основы теории симметрии В книге рассмотрены методы теории групп и алгебр Ли, конечных и дискретных групп, а также других алгебраических структур, составляющих современный математический аппарат теории симметрии в физике, и широко используемый в квантовой теории поля, теории элементарных частиц и ядра, теории твердого тела, квантовой химии. Излагаются основы теории аффинных алгебр и их представлений, теория представлений квантовых групп и алгебр.
Для научных работников в области теоретической и математической физики, аспирантов и студентов физических и математических факультетов университетов. Содержание
Предисловие........................ 5
Глава 1. Основные сведения.............. 9
§ 1. Элементарные понятия теории групп....... 9
§ 2. Расширения групп.................. 25
§ 3. Симметрическая и знакопеременная группы . . 36
§ 4. Топологические группы............... 50
§ 5. Группы пространственных симметрия......63
§ 6. Ассоциативные алгебры и алгебры Ли...... 90
Глава 2. Группы Ли...................113
§ 1. Элементы анализа на многообразиях.......113
§ 2. Группы Ли. Матричные группы..........139
§ 3. Локальное исследование групп Ли.........149
§ 4. Переход от алгебры Ли к группе Ли........170
§ 5. Дифференциальная геометрия на группах Ли . . 183
Глава 3. Представления групп и алгебр......198
§ 1. Основные понятия теории представлений .... 198
§ 2. Представления групп Ли. Общие свойства .... 222
§ 3. Представления компактных групп........233
§ 4. Представления конечных групп..........247
§ 5. Представления группы SU(2)...........271
§ 6. Индуцированные представления......* . . . 299
§ 7. Разрешимые и нильпотентные группы......338
Глава 4. Полупростые и аффинные алгебры Ли . 346
§ 1. Полупростые группы и алгебры Ли........346
§ 2. Классификация полупростых алгебр Ли.....366
§ 3. Вещественные формы................376
§ 4. Аффинные алгебры Ли и алгебра Вирасоро . . . 392
§ 5. Представления полупростых алгебр Ли......415
§ 6. Представления аффинных алгебр Ли.......425 4
Содержание
Глава 5. Квантовые группы и алгебры.......435
§ 1. Алгебры Хопфа....................435
§ 2. Квантовая алгебра Uq(Bl2).............449
§3. <7-осцилляторная алгебра и алгебра Ug(sh) .... 465
§ 4. Алгебра функций на квантовой группе SLq(2) . 478
§5. Представления квантовой группы SLq(2) .... 485
§ 6. Анализ на квантовой группе SUq(2)........494
§ 7. Переход от SLq(I) к Uq(Sh)............504
§ 8. Квантовые сферы и копредставления на них . . . 508
Библиография.......................515
Предметный указатель ..............523 Светлой памяти выдающегося ученого академика АН Украины Михаила Кравчука,
посвящаем
Предисловие
Идея симметрии, без сомнения, одна из наиболее глубоких и плодотворных во всем естествознании. Родившись в глубокой древности как учение о соизмеримости и пропорциях, она незримо или явно присутствовала почти во всех натурфилософских теориях античности и средневековья. Однако вплоть до середины XIX столетия учение о симметрии можно рассматривать лишь как философскую идею или мировоззренческий принцип, а не как самостоятельную науку в современном понимании. Ситуация изменилась после открытия Эваристом Галуа роли групп перестановок в определении условий разрешимости в радикалах алгебраических уравнений произвольных степеней, а точнее почти сорок лет спустя, после опубликования Камиллом Жорданом книги под названием «Трактат по теории перестановок и алгебраических уравнений», в которой теория Галуа была изложена с глубоким проникновением в суть проблемы и многими примерами. Новая математическая теория привлекла всеобщее внимание и очень быстро развилась в самостоятельную научную дисциплину со множеством приложений.
Феликс Клейн, по-видимому, был первым, кто установил связь между группами перестановок и симметриями выпуклых многогранников. Ему же принадлежит идея, что понятия группы преобразований можно положить в основу всех разновидностей геометрий, выявив таким способом своеобразие каждой из них. Так был построен мост между чисто алгебраической наукой — теорией групп и симметриями геометрических объектов. Под влиянием работ Феликса Клейна и Co-фуса Ли утвердилось понимание того, что симметрия — это, в первую очередь, совокупность операций, сохраняющих опре- 6
Предисловие
деленные алгебраические или геометрические соотношения и эта совокупность в большинстве случаев обладает структурой группы. Таким образом, идея симметрии получила математическое оформление и обрела адекватный язык.
Проникновение теоретико-группового мышления в физику началось в конце XIX - начале XX столетия. Два замечательных достижения в двух различных областях естествознания — классификация кристаллографических групп Федоровым и Шенфлисом и теория относительности Эйнштейна-Пуанкаре, — положили начало этому процессу. И сегодня без преувеличения можно сказать, что теоретико-групповые методы доминируют в арсенале математических средств современной физики, демонстрируя свою эффективность и универсальность в самых различных областях — от биофизики и квантовой химии до теории элементарных частиц и астрофизики.
