Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
T(gi)F(g) = F(ggi). (6.3)
Представление Т, определенное формулой (6.3), является под-представлением регулярного представления. Его называют квазирегулярным представлением группы G на однородном пространстве М.
Конструкция индуцированного представления возникает как обобщение квазирегулярного представления. Пусть А —» 7г(/і) — представление подгруппы Я в пространстве ff и пусть Cn(GiSjir) — пространство непрерывных функций на G со значением в Sj", удовлетворяющих условию
F(Ae) = Tr(A)Fte), А Є Я. (6.4)
В пространстве CH(G,ff) определим операторы T(g) формулой (6.3). Непосредственно проверяется, что соответствие g —> T(g) является представлением. Его называют представлением группы G, индуцированным представлением тг подгруппы H и обозначают через Ind^ (7г). Если в качестве индуцирующего представления 7г взять тривиальное представление, то Ind^ (7г) совпадет с квазирегулярным представлением. Если, кроме того, Я = {е}, то соответствующее индуцированное представление совпадает с регулярным представлением.
Реализация индуцированного представления в пространстве функций на группе не всегда удобна. Иногда желательно 302 Глава 2,
иметь дело непосредственно с вектор-фуикциями на однородном пространстве Af ~ H\G. Изложим схему построения индуцированных представлений в пространстве С(М, ff) непрерывных функций на однородном пространстве Af со значениями в ff. Для этого определим операторы представления T(g) формулой
T(g)№ = rix-, g)f(xg), f(x) Є C{M,ff), (6.5)
где /х(ж; g) — операторнозначная функция на Af x G, подлежащая определению, и Xg=Xg— преобразованная элементом g Є G точка на многообразии М. Формула (6.5) определяет представление группы G, если T(gig2) = T(gi)T(g2). Поскольку Xglg2 = (xgl)g2, то отсюда следует уравнение на операторнозначную функцию ?(x; g):
rix-, gigi) = rix-, gi)rixgl-, Ы- (6.6)
Это уравнение означает, что р(х; g) является 1 -коциклом на группе G со значениями в пространстве непрерывных операторных функций на M (см. [6]). Из (6.6) следует, что в точке x = жо соответствие h —> p,(xo,h), h Є H, определяет представление 7г(/і) = h(xq; h) подгруппы H в пространстве із^. Кроме того,
р(ж0; hg) = rixo; h)?(x0; g), geG. (6.7)
Обозначим через s(x) Є G представителя класса смежности из H\G, сопоставленного точке х Є M. Если элемент gEG переводит точку Жо в Ж, TO есть Xog = Xqs(x) = ж, то
g=h(g)s(x), h(g) Є Н.
Положим в формуле (6.6) gi = s(x) и g2= g- Тогда имеем ?(x0;s(x)g) = ?(x0-,s(x))n(x-,g), или ц(x;g) = ?~1(x0;s(x))x хц(хо; s(x)g). Представив элемент s(i)j€ G в виде
s(x)g = h(s(x)g)s(xg), h(s(x)g) Є H
и воспользовавшись соотношением (6.7), окончательно получаем
rix;g) = в(ж)) 7T(/i(s(x)e)) /і(х0; s{x)g). (6.8) §6. Индуцированные представления
303
Задача 1. Докажите, что коцикл fx{x,g) когомологичен коциклу fi(x0;h(s(x)g)).
Для получения удобных формул для индуцированного представления (6.5) осуществим с помощью операторной функции fi(x0; s(x)) обратимое отображение: f(x) —> f'(x) = = fi(xo;s(x))f(x) и определим в пространстве C(MjSj7r) представление g —>¦ T'(g), положив
Простые вычисления с использованием формул (6.5) и (6.8) дают
В дальнейшем штрих при операторах T'(g) будем опускать и формулу (6.9) будем считать основной при определении индуцированного представления в пространстве вектор-функций на однородном многообразии М.
Приведем несколько простых свойств индуцированных представлений, доказательство которых предоставляем читателю:
1) Если 7Гі ~ 7Г2, то Indtf(TT1) ~ Indtf(TT2).
2) Если тт = Tr1 ф тг2, то Indg (7г) ~ Indtf(Tr1) ф Indtf(Tr2).
3) Необходимым условием неприводимости представления Indtf(?r) является неприводимость представления тт (обратное неверно).
Пусть К — подгруппа в подгруппе HcGn пусть Indj^(Tr1) — индуцированное представление подгруппы Н. Представление Indj^(Tr1) можно использовать в качестве индуцирующего при построении представлений группы G.
Утверждение 1. Если KuH — подгруппы группы G такие, что К С H, то
T'(g)f(x) = ti(x0-, s(x)) T(g) /X-1Oc0; s(x))f(x).
T'(g)f(x) = Tr(h(s(x)g))f(xg).
(6.9)
Indg(Tr1) ~ Indg(Ind^Tr1)).
(6.10) 304 Глава 2,
Доказательство. Реализуем индуцированное представление Ind^ (пі) в пространстве вектор-функций на G. Пусть fig) Є CK(G,Sj^). Тогда f(kg) = Tr1 (k)f(g), к Є К. Рассмотрим отображение
f(g)^F(h,g) = f(hg). (6.11)
Тогда F(hig) = f(hg) как функции на группе G обладают свойством левой //-ковариантности. Действительно,
F(h,hlg) = f(hhlg) = Fihhlig) = Tlnd" {hi)F{h,g).
Они принимают значения в пространстве Ск(Н, Sj7ri), поскольку как функции на группе H обладают свойством левой /^-ковариантности:
F(Jthlg) = f{khg) = Ir1(Is) f (hg) = TT1(K)Fihig).
Эти соображения показывают, что формула (6.11) задает отображение из пространства С к (GiSi7ri) в пространство CHiGiCxiHiSj7ri)), в котором действует представление Ind^(Ind^(7Гі)). Это отображение является изоморфизмом, поскольку оно обратимо и коммутирует с операторами правого сдвига. Утверждение доказано.
