Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
I
P(ZltZ2) = E PnZ11-nZl^n п
степени однородности 21: p(Xzi,Xz2) = X21P(ZljZ2). Определим в Sji операторы Ti(g), g Є GL(2, С), положив
T(g)p(z1,z2) = р ((Z1, z2) й) ) = p(aZl + yz2^zi + 8z^'
(5.1)
Операторы Ti (g) оставляют пространство Sji инвариантным и задают в нем представление группы GL(2, С). (Условие гомоморфизма Ti(g1g2) = Ti(g\)Ti(g2) проверяется непосредственно.) § 5. Представления группы SU(2) 273
Определенное формулой (5.1) представление Т/ допускает другую реализацию. Действительно, каждый многочлен р Є Sji однозначно определяется своими значениями
і
V(Z1) = Piz1,1) = E Рп4~П (5-2)
п=-1
в точках (zi,l). Многочлен p(z±, z2) однозначно восстанавливается по многочлену Ip(Z1):
P(ZltZ2) = Zfip(ZifZ2). (5.3)
Обозначим через Di пространство многочленов (р степени 21 от одного переменного Z. Формулы (5.2) и (5.3) устанавливают взаимно однозначное соответствие между элементами пространств Sji и Di- Согласно формуле (5.3) имеем
p(aZl + *yz2,Pz1 + Sz2) = (/Jzi + Sz2)21 <р ^ J^) ¦
Отсюда следует, что операторы (5.1) переходят в операторы, действующие в пространствах Di по формуле
T,(g)<p(z) = (/Jz + Sf1ip (j^) - (5-4)
Одночлены 1, z, Z2,... , Z2' составляют базис пространства Di, поэтому представление Tj имеет размерность 21 + 1.
Рассматривая операторы Ti(g) только для матриц geSU(2) получим представление группы SU(2). Как показано в п. 5.5 главы 1, группа SU(2) дважды накрывает группу 50(3); при этом элементы {±е} Є SU(2) составляют ядро гомоморфизма накрытия. Поскольку
Т,(-е)ф) = (-1 )2,<p(z),
то представления Т/ с целым / определяют однозначные представления группы SO(3). Представления Tj с полуцелым / — это двузначные (спинорные) представления группы SO(3). 274 Глава 2,
5.2. Инфинитезимальные операторы представлений. Алгебра Ли группы SU(2) (обозначаемая далее через su(2)) состоит из антиэрмитовых 2x2 матриц с нулевым следом. Матрицы
Al = l(l о)' = о)' As = t(o -l)'
(5.5)
касательные к однопараметрическим подгруппам
cos ~ і sin ~
gi(r) = . . т т , g2{r) =
, і sm ^ cos -
составляют базис алгебры Ли su(2). Базисные элементы Ai, г = 1,2,3, удовлетворяют коммутационным соотношениям
[AuA2] = A3, [A2fA3I = A1, [A3, A1] = A2. (5.6)
Вычислим инфинитезимальные операторы Ti(Ai) = Ai представления Ti в пространстве ЗЭ/. Согласно определения
Ai = ?щЄі(г))
T=о
Однопараметрической подгруппе gi (г) соответствует семейство операторов Ttig1(T))-.
Ті(Бііт))ф) = (izsin ? + cos ?)2V
' Z COS J + і sin ? іZ sin ^ + COS ?
Дифференцируя правую и левую части этого равенства по т и полагая т = 0, получаем
A1=Hz+1(1-z2)-!. (5.7) § 5. Представления группы SU(2) 275
Аналогично находятся остальные инфинитезимальные операторы:
Aa =-Iz +I( 1 + Z*)?, A3 = i(z±-l). (5.8)
Легко проверить выполнение коммутационных соотношений (5.6) для операторов Ai.
5.3. Инвариантное скалярное произведение. Поскольку группа SU(2) компактна, то в пространстве Di ее конечномерного представления 7/ существует инвариантное скалярное произведение. Для пары многочленов /1,/2 Є Di определим его формулой
ІГ(2і + 2) f JJz)f2(z) , ^
--^F-У (1 + N2)2,+2^
где dzdz = —2i dxdy — ориентированная квазиинвариантная мера на CP1. Проверку инвариантности скалярного произведения (5.9) относительно представления (5.4) предоставляем читателю.
Вычислим норму базисных элементов z'+m, т = —/, —I + 1,... , /, относительно скалярного произведения (5.9):
ir(a + 2W " " 2тг J (1 -f- |z| )
2Г(2/ + 2) Г (г2)'-™ = (5Л0)
Интегрируя по угловой переменной (р от О до 27г и производя замену г2 = у, сводим интеграл (5.10) к интегральному представлению для B-функции Эйлера. В результате имеем
|jzj+m||2 = Г(2/ + + m + Ij / _ m + i) = (/ + m)i (/ _ m)i
(5.11)
Одночлены z'+m, zl+n при т ф п ортогональны между собой (следствие ортогональности функций Cirnip и einv> на окружности). С учетом этого замечания результат приведенных вычислений представим в виде
(zl+m, Zl+n) = (I + m)! (I - m)! 6mn. (5.12) 276 Глава 2,
Одночлены
<pm(z) = -=4= , m = -/,-/+1,..., г, (5.13)
v/(J + m)!(f - т)\
образуют ортонормнрованный базис пространства 2)/. Определив вместо A1, A2, A3 операторы
H+ = U1 -A2 = -4-, H- = U1 +A2 = -2 Iz + Z2 4-, az az
H3=IA3=I- z?, (5.14) удовлетворяющие коммутационным соотношениям
[H3,H+] = H+, [H3,H-] = -H-, [Н+,Н-] = 2Н3, (5.15) получаем
Н+(рт = \ґ(1-т)(1 + т + 1 )<рт+1, (5.16)
Н-<рт = ^(I + m)(l - т + 1)<рт-и (5.17)
H3Ipm = ггирт. (5.18)
Таким образом, операторы H3 и A3 диагональны в базисе (рт, т = —I, —1 + 1,... ,1. Операторы Ti(g3(6)) = Ti(ехр0A3) тоже диагональны в этом базисе:
Tl(g3(0))ipm = e~imVm. (5.19)
5.4. Неприводимость и полнота. Представление Т/ группы SU(2) неприводимо, если в пространстве 2)/ нет собственных (то есть отличных от {0} и от S)/) подпространств, инвариантных относительно операторов Ai, A2, A3 или операторов Н+, H-, H3.
Предположим, что в S)/ существует ненулевое подпространство инвариантное относительно операторов Н+, H-, H3. Пустку — отличный от нуля многочлен из Sr, а т — его
