Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
т
і
—д. J 2F1(-n,a-, с; t)^1 (1 - tf-^1 dt =
T(b)T(d - b)
о
= 3F2(-n,a,b-, c,d; 1), (5.52)
где Reb > 0, Re(d - b) > 0 и
3F2(a,?,T, S,e- *) = г(в)г(/8)г(7, X
^ 7(q + k)T(? + k)T(j + k) xk T(S + k)T(e + k) kl'
В результате имеем
2 (21 + l)(2Ji)! (2l2)l
(I1 +I2 -l)\(h +I2 + 1+1)1' 290 Глава 2,
Как указывалось в конце п. 5.10, коэффициенты Клебша-Гордана определяются с точностью до постоянной. Подберем ее так, чтобы выполнялось неравенство С(/1,/2,/; /1,-/2,/1,-/2) > 0. Тогда
/ (2/ + 1)(2/і)! (2/2)! \ V(/i + Z2-Z)!(/i +Z2+ / + 1!)j
C(h,h,l; Zi,-Z2,Zi,-Z2)
\ (Ч 1- 12 — Ч: \Ч "I" + 1 + 1
(5.53)
Теперь положим в (5.51) j = I1, к = -Z2 и учтем выражение (5.53) для C(Zi,Z2,Z; Zi,-Z2lZi,-Z2). Аналогично, с помощью формулы (5.52) выводим, что
C(Zi,Z2,Z; j,k,3+k) = X
(Z2 — h +
1
J (/ - m)!(Z + Z2 -Zi)! (Zi + j)! (Z2 + fc)! (Z + m)! (21 + 1) \ 2^ XV(Zi -Z2 + Z)! (Zi +I2-1)1(1+ I2+1 +1)! (I1 _ j)\ (I2 -k)\)
x3F2(/+m+l,-/+m,-/i+./; -Zi-Z2+m,Z2-Zi+m+l; 1),
(5.54)
где тп = j + к.
Для гипергеометрической функции зF2(... ; 1) выполняется соотношение (см. [86], глава 8)
3F2(-n,a,b; c,d; 1) = Г(с)Г(с -а + п)
зF2 (—п, a,d — b; а — с — п + 1, d; 1).
Г(с + п)Г(с — а)'
(5.55)
Применяя его к правой части в (5.11), получим другие известные выражения для коэффициентов Клебша-Гордана.
Существует много других соотношений для функций 3F2 (см. [86], глава 8). Они эквивалентны соотношениям симметрий для коэффициентов Клебша-Гордана. Группа симметрий § 5. Представления группы SU(2) 291
-для этих коэффициентов имеет 72 элемента. Она порождается г,следующими четырьмя соотношениями:
I2,1; j,k,m) = (-\)l*+l*-lC(h,l2,l-, -j,~k,-m) = і
= (-l)'2+fc (??)2 C(l,l2, I1-, —m, к, —j) = [<Bpt] = (-l)h+h-lC(l2,h,l; k,j, m) =
=<->"-'(?) 4^-
I + Zi + к . Zi - Z + к . I1-I-к . . \ . .
-2-''2' -2- -2--j" ^ '
Соотношения последнего типа называют симметриями Редже. Первые из соотношений (5.56) известны практически с того времени, когда были выведены первые формулы для коэффициентов Клебша-Гордана. Симметрии Редже открыты только в 1958 г., тогда как соотношения симметрий для 3F2(...; 1) известны с конца прошлого века. Однако физикам, исследовавшим коэффициенты Клебша-Гордана, эти результаты о (• • • ; 1) не были известны.
Трехчленные рекурентные соотношения для 3F2(... ; 1) приводят к рекуррентным соотношениям для коэффициентов Клебша - Гордана.
Полагая в формуле (5.51) j' = I1, к' = -I2 и учитывая выражения для матричных элементов и коэффициента Клебша-Гордана С(I1,12,1-, I1,-12,11 —12), получаем равенство
C(h,l2,l-, j,k,m) = і
= J S(Zi,Z2,Z; j, к, cos в) 4+Ml _ЬЫ0)) rf(cos в), (5.57) -і 292 Глава 2,
где m = j + к и
S(h,l2,l; j,k; cose) = х
A*i+*»-Q!(ti+*a + t + l)!(2f + l)y
V {іі-тіі+зУ-(і2-ку.(і2+к)\ ) х
/l + cosg\ Vl-COS в)
J-fc
• It +h л '' rns " 4 2 X sin 1+ 2 в
Положив в последнем равенстве п. 5.10 j = 11 и к' = -I2, получим обратное соотношение
4,a-I,(«iW) =
= 2ІТІ ЭДьЬ,/; сив) Cd1,ь,I; 3,к,т).
І,к j+k=m
(5.58)
Таким образом, S(h,l2,l; j,k; cos в) — ядро, связывающее коэффициенты Клебша-Гордана с матричными элементами представлений.
5.12. Коэффициенты Рака. Рассмотрим тензорное произведение трех неприводимых представлений Th, Т/2, Tt3 группы SU(2). Поскольку тензорное произведение ассоциативно, то
(T1 О Th) ® Th = Tll ® (Т,2 О Ti,). (5.59)
Для соответствующих пространств представлений имеем
(ІЗі ® Sj2) ® Sj3 = Sj1 ® (Sj2 ® І5з). (5.60)
Пусть
Я, ® Т,2 = ф Т,12, (5.61)
/12
Т/2 ® Tz3 =ф Tz23. (5.62)
/23 § 5. Представления группы SU(2) 293
Тогда вследствие формулы (5.59)
0№12 ® Tls) = 0(Th ® Th3), (5.63)
'l2 /28
где суммы такие, как в (5.61) и (5.62).
Базисные элементы пространств Йі,Й2,Йз> в которых операторы Н+, H-, Нз задаются соответственно формулами (5.16)-(5.18), обозначим через е*, fj-, h*. Тогда для разложений (5.61) и (5.62) имеем2
am2 = E С'№12е< ® fi' m = i + h (5.64) »'.і
b'„23 = E Cjthsfj ® bfc, n = j + k, (5.65)
3,h
где aj*2 и — базисные элементы подпространств, в которых реализуются представления Tj12 и Tj23. Считаем, что в этих базисах операторы #_, H3 задаются формулами (5.16)-(5.18). Пусть
Tl»® Th =0Т,
I
и c?,2(,12)',s' — базисные элементы3 подпространства, в котором реализуется представление Tj. Тогда
т,к
-ЕЕ ® fi) ® h*- (5-66)
т,к i,j
Пусть
Tll^Ths=Qn
V
2Ради удобства коэффициенты Клебша-Гордана C{li,l2,l\ j,k,m) обозначаем через Cj
3B обозначении базисных элементов с помощью индексов указано, как
эти элементы получены: тензорным умножением Tj1 на Tj2, а потом тен-
зорным умножением Tj12 на Tj3- 294 Глава 2,
и cJj'^'sC»8^' — базисные элементы подпространства, в котором реализуется представление Tj». Тогда
,Ыз(Ьз),/ і C-lJ^ei ® Ь^3 =
І, п
= EE ^23'?'23^ ® (fi ® Ьк). (5.67)
«>" J1*
Поскольку наборы векторов и пред-
ставляют собой два ортонормированных базиса пространства (5.60), в которых операторы Tj(g) задаются одними и теми же матрицами, то вследствие леммы Шура они связаны унитарной матрицей:
