Математические основы теории симетрии - Голод П.И.
Скачать (прямая ссылка):
Oi O2 03 Ot
Xlnd(Tl) 3 3 0 0
Xlnd(T2) 3 -1 0 0
Поснольку Xlnd(Ti) = Xlnd(Ts), то Ind^ (тг.) ~ Ind^4(Tr2)1 і = 3,4. Сужение характера Xlnd(T2) на подгруппу H ~ D2 имеет вид Xlnd(тг) = (З, —1, —1, —1) = х*2 + X7rs + Xjr4, поэтому согласно теореме о взаимности, представление Ind^ (ж2) неприводимо.
Представление Ind^4 (jti) приводимо и является прямой суммой трех одномерных представлений: Ind^4(Tri) = То ®Ti ® T2.
Пример 2. Пусть G ~ Y ~ As — группа симметрий икосаэдра. Построим индуцированные представления группы As, выбрав в качестве индуцирующей подгруппу Ds С -As:
Ds = {e,z = (1,2,3,4,5), Z2, Z3, z4; а = (1,2)(3,5), za, z2tr, z3tr, z4cr},
а в качестве индуцирующего представления — ее тривиальное представление 7гі. Геометрическая интерпретация преобразований из подгруппы Ds следующая: элементу z соответствует вращение на угол 27г/5 вокруг вертикальной оси (см. рис. 5 гл. 1), (соответствующая циклическая подгруппа Cs оставляет на месте вершину икосаэдра), а элементу «г соответствует вращение на угол 7г вокруг §6. Индуцированные представления 309
одной из горизонтальных осей второго порядка. Пространство индуцированного представления Ind^ (7Г1) шестимерно и состоит из четных функций на множестве вершин икосаэдра (или на множестве граней додекаэдра). Операторы представления действуют как операторы перестановок пар диаметрально противоположных вершин.
Пусть Oi, і = 1,2,3,4,5, — множество классов сопряженных элементов группы A5. Тогда
OinD5 = {е}, OjnD6 = Ог, O5 ПD5 = 0, OiCiD5 = {z,z3}, O5OD5 = {z2,z4}
и по формуле (6.15) легко вычислить характер индуцированного представления Indp® (еті):
XlmW = {6,2,0,1,1}. (6.20)
Воспользовавшись критерием неприводимости (утверждение 3, § 4) убеждаемся, что представление Ind^ (л-і) приводимо. Как следует из теоремы взаимности Фробениуса, оно содержит тривиальное подпредставление, которое реализуется в одномерном подпространстве функций постоянных на множестве вершин икосаэдра. Характер представления в ортогональном дополнении легко вычисляется. Если хА характер тривиального представления, то
Xlnd(^r1) - хА = {5,1, -1,0,0}. (6.21)
Полученный характер удовлетворяет критерию неприводимости и соответствует неприводимому представлению Th, dim Th = 5, группы Y ~ A5, реализованному в пространстве четных функций на множестве вершин икосаэдра с нулевой суммой значений.
Объединяя формулу (6.21) с результатом из примера 6 п. 4.4 в виде таблицы неприводимых характеров группы Y ~ A5
Oi O2 O3 O4 O5
ХА 1 1 1 1 1
XFl 3 -1 0 1 + VE 2 1 — л/5 2
XF2 3 -1 0 1 - л/5 2 1 + л/5 2
4 0 1 -1 -1
Xg 5 1 -1 0 0 310
Глава 2,
6.4. Индуцированные представления групп Ли.
Пусть G — группа Ли, a H — ее замкнутая подгруппа. Пространство M = H\G в этом случае является гладким многообразием. Индуцированные представления Ind^ (тг) естественно задавать в пространстве C00(MiSjir) бесконечно дифференцируемых функций на M со значениями в Sj7r. Формулы (6.5) для операторов представления обычно записывают в локальных координатах на многообразии М. При этом возникает необходимость «локализовать» функции из пространства C00(MiSj7r), то есть задать их в каждой локальной карте как функции многих переменных. Эта процедура ведет к отождествлению пространства C00(MiSj7r) с пространством гладких сечений векторного расслоения над многообразием M со слоем Sj7r. Рассмотрим эту конструкцию подробней.
Пусть {Ua І а Є 9Я} — система окрестностей, покрывающая многообразие М. Разложение произвольного элемента g Є G в произведение
g=ha(g)sa(x) (6.22)
и выбор элемента sa(x) в качестве представителя левого смежного класса, отвечающего точке х EUa С Mi то есть такого, что Xog = XqSа(х) = Xозначает построение отображений
sa: Ua Gi а Є Ш,
— локальных сечений главного расслоения над многообразием М.
На пересечении Ua П Up определено отображение х —> —> sa(x)(s?(x))~1, принимающее значения в подгруппе Н. Обозначим его через sa?. Если тг — конечномерное представление подгруппы H в пространстве Sj7r, то покрытие {Ua І а Є 9Я} вместе с набором операторнозначных функций X —> 7r(sa?(x)) определяет векторное расслоение над М, которое обозначаем через ?ж. Тотальное пространство этого расслоения можно описать двумя способами. Во-первых, Elt можно получить путем «склейки» тривиальных расслоений Ua X Sj7r, а Є Ш, объединив их в расслоение ? = Ua(Ua х Sj*) и факторизовав по соотношению эквивалентности
{Za,Va}~{X?,V?}, если Xa=X??Uar\U?, И Va=ir(sa?(X?))V?. \ §6. Индуцированные представления 311
Другой способ построения расслоения E7r — факторизация прямого произведения G X Sf по соотношению эквивалентности
{g,v} ~ {h~lg,%(h)v}.
Эквивалентность двух определений легко доказать, если воспользоваться отображением Ua х Sj —v G х Sf, заданным формулой {ж, и} -V {sa(a:),v}.
Пусть F Є Cg(GiSf). Каждой такой функции сопоставим функцию fc(x) = F(sa(x)) из пространства Cc0(JJatSf). Если а: Є Ua П U?, то элемент g представим в виде произведения (6.22) двумя способами:
