Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 93

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 154 >> Следующая


в качестве образа функции tlm , получим функцию

Y1

і— —

Li = CitmZ 2 (1 + И2)А/2 - I. (6.39)

Обозначим через fj\m образ подпространства Sj1m при отображении (6.38). Очевидно, функции fmg, —l^.q^.1, составляют канонический базис в пространстве Sj1xm- Операторы Н±, H3 действуют на элементы этого базиса согласно формул (5.16)-(5.18):

H±flmq = V(l ± ЯКІ ± Q + 1)ҐтіЯ±і, H3J1mg = Qf1mg. (6.40)

Применяя оператор F+ к функции (6.39), находим

F+fna = -і

(I + 1)2 -(f)2

^^(А-20/^- (6-41)

Действие операторов F3 и F- на функции flm можно найти,

Te

используя коммутационные соотношения

[tf_,F+] = -2F3, [tf,F3] = F-.

Рассмотрим функцию tl m (k(u,v)) и ее образ fl_m[

~Y'1

при отображении пространства C??m(SU(2)) в пространст-воС~Л_4і_т(С):

?-m, = (-1)

-і- — ' 2 .

у/Ш

J+

yjtt +



z a(l + W3) 2

Г-/-2 320 Глава З

Применяя оператор F+ к функции jfi.m/, находим

FJ-mi = -і

Ц + І)2-(f)2

(2Z + l)(2/ + 2)(-A-4-2f^- (6-42)

Из формул (6.40)-(6.42) следует

Утверждение 3. Если А / |m| + 2п, п = 0,1,2,..., то функция /'" , I0 = циклична в пространстве Cf0m(C)

относительно представления 71!-^*"!. Если A ^ — |m| — 4 — 2п,

—і

п = 0,1,2,..., то функция f °т циклична в пространств

-у/о

ее _т(С) относительно представления ті-*-4*-"»].

Напомним, что вектор f Є Sj называется цикличным относительно представления Т, если замыкание линейной оболочки векторов T{g)f, g Є G, совпадает с пространством ф.

Пространства C^0m(C) и С^°Л_4 _т(С) образуют дуальную пару в том смысле, что на их прямом произведении определен инвариантный непрерывный билинейный функционал

B{fitf2) = \J fiiz,z)hiz,z)dzdz, (6.43)

где Z1 є C^jn(C), /2 Є С~Л_4 _m(C). Ограниченность (а следовательно, непрерывность) функционала (6.43) обеспечивается асимптотическими свойствами (см. (6.34)) функций Д и /2, а его инвариантность

BiT^m\g)h,Tl-x-4'-m]ig)h) = Bif1J2)

проверяется непосредственными вычислениями. Из инвариантности следует, в частности, что представления T1Ia'"1! и

""1J взаимно контраградиентны.

Теорема 2. Если А ф |m| + 2п и А ф — |m| — 4 — 2п, п = 0,1,2,..то представления т'А,т1 основной неунитарной серии группы 5-L(2, С) неприводимы. \ §6. Индуцированные представления 321

Доказательство (набросок). Представления ГІА'т1 и T^-*-4.-"»] имеют одинаковые 517(2)-спектры, а функции /^Jo и J1^mlo имеют одинаковые SU(2)-типы (то есть принадлежат подпространствам одного и того же неприводимого представления подгруппы SU(2)). Если функция /Jjl циклич-на в CJ0rn(C), то либо представление T1Ia'"1! неприводимо, либо в C«n(С) существует инвариантное подпространство Sj', но /^lo принадлежит линейному дополнению. В Сгсюх_4 _т рассмотрим подпространство Sj" функций, задающих нулевые линейные функционалы на Sj': B(f',Sj') = 0, /" Є Sj". Очевидно, подпространство Sj" инвариантно относительно TІ--*-4'-™]. Поскольку функция /L0wjo имеет тот же SU(2)-тип, что и /L0mjo, то она принадлежит Sj". Но /L0mlo — циклическая функция, поэтому Sj" совпадает со всем пространством С^х_4_т. Поскольку билинейный функционал (6.43) невырожден, то отсюда следует, что Sj' = {0}. Это доказывает неприводимость представления rtA,ml.

6.56. Представления основной унитарной серии.

Если А = — 2 + ip, р Є R, а т — целое число, то для функций / Є C^n (С) существует интеграл

і J \f(z,z)\2 dzdz < оо.

Учитывая преобразования меры интегрирования dzgdzg = (z? + 6)-2{z? + o)~2 dz dz, легко проверить, что скалярное произведение

(/1,/2) = ^J M^t)f2(z,z) dz dz (6.44)

в пространстве C^1(C), А = —2 4- ip определено и инвариантно относительно операторов T^~2+tp,irr^(g).

Пополним пространство Cx^n(С2) по норме ||/|| = у/(/, /) до пространства L2(C) ~ L2(E2) и продолжим операторы TXm(g) по непрерывности до унитарных операторов в Zz2(C). Совокупность полученных таким образом представлений l1A'ml, А = -2 + ip, р ? М, т. Є Z, называют основной унитарной серией представлений группы SL(2, С). 322

Глава 2,

Утверждение 4. Все представления основной унитарной серии неприводимы.

Утверждение следует из теоремы 2.

6.5в. Конечномерные представления. Переписав формулу (6.35) в виде

А+ш А—тп

T^(g)f(z,z) = (z? + (z? + f(zg,zg), (6.45)

\ + т ^ rp X — т ^ гп

легко заметить, что если п\ = —^— Є ^ и п2 = — Є L,

то в пространстве C^cm(C) существует инвариантное подпространство S)щ,п25 состоящее из многочленов степени, меньшей или равной т относительно переменной Z, и степени, меньшей или равной п2 относительно переменной Z. Сужение представления (6.45) на подпространство Sni >П2 обозначим через Sj1J2, где U1 = 2ji, п2 = 2j2. Легко видеть, что dim.Sj,, j2=(2ji+1) х х(2j2 +1).

Методами, аналогичными тем, которые использованы в п. 5.4 при доказательстве неприводимости и полноты представлений группы SU(2), можно доказать, что:

1) представления Sj1J2, ji,j2 = 0, і, 1,... попарно неэквивалентны

2) набор неприводимых представлений (S1jlJ2 \ji,

J2 Є U {0}} полон в том смысле, что всякое неприводимое
Предыдущая << 1 .. 87 88 89 90 91 92 < 93 > 94 95 96 97 98 99 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed