Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Голод П.И. -> "Математические основы теории симетрии" -> 94

Математические основы теории симетрии - Голод П.И.

Голод П.И., Климык А.У. Математические основы теории симетрии — Москва, 2001. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): matematosnoviteorsimetr2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 154 >> Следующая


конечномерное представление группы SL(2, С) эквивалентно одному из представлений Sj1J2.

Доказательство см. в [43].

Легко видеть, что представления Sjltо остаются неприводимыми при сужении на подгруппу SU(2) и совпадают с представлениями Tj1, описанными в п. 5.1. Пространство S2J1,о можно интерпретировать как пространство локальных сечений голоморфного расслоения над многообразием S2 — CF1 = = P\SL(2, С). Действительно, условие склейки (6.23) позволяет сопоставить каждому многочлену из пространства 3)2jj,o глобальную голоморфную функцию на многообразии S2~CP*.

Аналогичные утверждения можно сделать относительно представления Soj2: оно неприводимо при сужении на SU(2) \ §6. Индуцированные представления 323

и совпадает с представлением Tj2 ~ Tj2. Пространство Х>о,2j2 можно отождествить с пространством локальных сечений линейного антиголоморфного расслоения над S2 ~ CP1.

Представление Sj1Ja эквивалентно тензорному произведению Sj110 ® Soja, что соответствует утверждению теоремы 5 в §1.

Соответствие между конечномерными неприводимыми представлениями группы SL(2, С) и голоморфными (антиголоморфными) линейными расслоениями над многообразием M ~ P\SL(2, С) обобщается на случай произвольной полупростой комплексной группы Ли. Это обобщение составляет содержание известной теоремы Бореля-Вейля [62, 91].

6.5г. Сплетающие операторы и эквивалентность

X .

представлений. Положим для удобства —-— = щ

д_ ^

и —2— = ^2- Следуя [15], определим в пространстве C^m(C) интегральный оператор

(Af)(z,z) = C(VuV2) J(z' - z)-v>~2(z' - z)-V2~2f(z',t) dzdz'.

(6.46)

Интеграл в (6.46) сходится, если ReA < 0; при ReA ^ 0 его следует понимать в смысле аналитического продолжения по параметру А. Доопределенный таким образом оператор А имеет смысл при всех значениях А и т, кроме тех, когда Vi и V2 — целые положительные числа. Будем предполагать, что Vi и V2 не являются целыми числами одного знака. Тогда, принимая во внимание асимптотику функций из пространства Сд°т(С), убеждаемся, что Af Є _т(С) и

ATx>m(g) = Tl-A~4-m,(g)A. (6.47)

Поскольку при оговоренных значениях параметров vi и V2 представления Т'А'Ш1 И J,[-A-4,-m] неприводимы, то отображение А: Сд°т(С) —> С0°Л_4_т(С) взаимно однозначно и соответствующие представления эквивалентны.

Пусть теперь Vi = пі, v2 = п2 — целые числа одного знака и пусть пі+п2 Ф —2. Для доопределения оператора А при 324

Глава 2,

этих значениях параметров Ti1 и п2 воспользуемся постоянной с(пі,пг) в (6.46). Рассмотрим два случая.

1. Пусть щ, п2 — целые неотрицательные числа. Положим

c(ni,n2) =

2сТ^-л-2 + Ну

где с' = (п^щГҐ+І)!' ^\{п,+п2+2-Н). Тогда one-

ратор А, определенный при целых значениях параметров Ti1 и п2 методом аналитического продолжения, совпадает с оператором (пі + иг + 2)-кратного дифференцирования:

= (6.48)

dzni+1 ffz"2+

Легко видеть, что ядро оператора А, действующего по формуле (6.48), совпадает с подпространством Dni )П2, а его образ — инвариантное подпространство 3_щ-2,-п2-2, состоящее из функций / пространства С^+П2іПі_П2(С), для которых равны нулю моменты

= l/ f(z'z)z

Ьрд = b I f(z, zWz9 dz dz = О

при р = 0,1,... , Ti1, q = 0,1,... , п2. Ограничения представления yt—Л—4,—ml на инвариантное подпространство 3-щ-2,-п2-2

#ті[А,то]

эквивалентно фактор-представлению ^-, где А = 7? + п2,

¦ ' Tl1 г.,. П2 jl'j2

Tn = Tl1- Tl2, J1 = —, [t\j2 = -у.

2. Пусть Ti1, Tb2 — целые отрицательные числа и Ti1 + п2 ^ —2. В этом случае оператор (6.46) хорошо определен в пространстве С^+П2>П1_П2(С). Его образ состоит из многочленов степени —7І1 —2 относительно переменной Z и степени -Tl2 — 2 относительно переменной Z, а его ядро Sn1 ,п-2 — из функций / Є С~+П2)П1_П2(С), для которых моменты Ьрд равны нулю прир = 0,1,..., —7ii—2, q = 0,1,... , —п2 — 2. Эти \ §6. Индуцированные представления 325

утверждения легко получить, раскладывая по формуле бинома Ньютона выражения (.z' — z)~ni~2 и (z' — z)-"2-2 в формуле (6.46). В фактор-прострастве С~+„2)П1_П2(C00)ZSni^ реализуется представление, эквивалентное конечномерному представлению Sj1Ji, Zj1 = —(щ + 2), 2j2 = ~(п2 + 2).

Кроме эквивалентностей, связанных с оператором А, в целых точках существуют еще дополнительные эквивалентности, которые можно найти в [15].

6.5д. Дополнительная серия представлений. Рассмотрим представления ТІА'°1 и Т'"А"4'0' при —4 < Л < 0. Эти представления образуют дуальную пару в том смысле, что на паре пространств C^o0(C) и С^_40 существует инвариантный билинейный функционал (6.43). Но поскольку A : C^0 (С) —> С2°л_4і0, то в пространстве C^o0(C) можно определить инвариантное скалярное произведение:

(h,f2)x = с J \z - z'\-x-4f^t)f2(z',^)dzdzdz' Oz'. (6.49)

Интеграл (6.49) существует в смысле главного значения лишь для значений —4 < Л < 0. Представления T^a'0' при этих значениях параметра Л унитарны и неприводимы. Они составляют так называемую дополнительную серию представлений.

6.6. Представления группы 51/(2, М). В этом пункте мы кратко изложим классические результаты о неприводимых представлениях группы SL(2, М) — спинорной накрывающей группы псевдоортогональных преобразований трехмерного пространства Минковского или так называемой «малой группы Лоренца» (см. § 1, гл. 1). Начиная с работы Баргма-на 1947 года, о бесконечномерных представлениях этой группы написано много. Эти исследования послужили отправной точкой для развития общей теории представлений вещественных полупростых групп Ли, гармонического анализа на группах и однородных пространствах, установления связей теории представлений с автоморфными функциями и формами. В физических приложениях группа SL(2,М) возникает как индуцирующая подгруппа при описании унитарных представлений группы Пуанкаре, о чем пойдет речь в следующем пункте. 326 Глава 2,
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 154 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed